Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77598 / 58078
↖ ↑ ↗
← N 20.061091°
E 33.129272°		 ← 286.89 m → N 20.061091°
E 33.132019°		 →
↑
286.89 m
↓
↑
286.89 m
↓
N 20.058511°
E 33.129272°		 ← 286.90 m →
82 307 m²		 N 20.058511°
E 33.132019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592029571533203 y=0.443103790283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592029571533203 × 217)
    floor (0.592029571533203 × 131072)
    floor (77598.5)     		tx = 77598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443103790283203 × 217)
    floor (0.443103790283203 × 131072)
    floor (58078.5)     		ty = 58078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77598 / 58078 ti = "17/77598/58078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77598/58078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77598 ÷ 217
    77598 ÷ 131072     		x = 0.592025756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58078 ÷ 217
    58078 ÷ 131072     		y = 0.443099975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592025756835938 × 2 - 1) × π
    0.184051513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57821488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443099975585938 × 2 - 1) × π
    0.113800048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.357513397366379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57821488} λ = 0.57821488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.357513397366379))-π/2
    2×atan(1.42976972146854)-π/2
    2×0.960464210142444-π/2
    1.92092842028489-1.57079632675     		φ = 0.35013209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57821488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.129272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35013209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.061091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77598 KachelY 58078 0.57821488 0.35013209 33.129272 20.061091
    Oben rechts KachelX + 1 77599 KachelY 58078 0.57826282 0.35013209 33.132019 20.061091
    Unten links KachelX 77598 KachelY + 1 58079 0.57821488 0.35008706 33.129272 20.058511
    Unten rechts KachelX + 1 77599 KachelY + 1 58079 0.57826282 0.35008706 33.132019 20.058511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35013209-0.35008706) × R
    4.50300000000015e-05 × 6371000     		dl = 286.886130000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35013209-0.35008706) × R
    4.50300000000015e-05 × 6371000     		dr = 286.886130000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57821488-0.57826282) × cos(0.35013209) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939327411281145 × 6371000     		do = 286.89476969264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57821488-0.57826282) × cos(0.35008706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939342856604338 × 6371000     		du = 286.899487091906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35013209)-sin(0.35008706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939327411281145-0.939342856604338)×R²
    abs(0.57826282-0.57821488)×1.54453231930862e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54453231930862e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54453231930862e-05×40589641000000     		ar = 82306.8068864847m²