Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77596 / 58170
↖ ↑ ↗
← N 19.823558°
E 33.123779°		 ← 287.33 m → N 19.823558°
E 33.126526°		 →
↑
287.27 m
↓
↑
287.27 m
↓
N 19.820974°
E 33.123779°		 ← 287.33 m →
82 541 m²		 N 19.820974°
E 33.126526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592014312744141 y=0.443805694580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592014312744141 × 217)
    floor (0.592014312744141 × 131072)
    floor (77596.5)     		tx = 77596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443805694580078 × 217)
    floor (0.443805694580078 × 131072)
    floor (58170.5)     		ty = 58170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77596 / 58170 ti = "17/77596/58170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77596/58170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77596 ÷ 217
    77596 ÷ 131072     		x = 0.592010498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58170 ÷ 217
    58170 ÷ 131072     		y = 0.443801879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592010498046875 × 2 - 1) × π
    0.18402099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57811901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443801879882812 × 2 - 1) × π
    0.112396240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.353103202601334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57811901} λ = 0.57811901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.353103202601334))-π/2
    2×atan(1.42347804249022)-π/2
    2×0.958391340143574-π/2
    1.91678268028715-1.57079632675     		φ = 0.34598635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57811901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.123779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34598635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.823558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77596 KachelY 58170 0.57811901 0.34598635 33.123779 19.823558
    Oben rechts KachelX + 1 77597 KachelY 58170 0.57816695 0.34598635 33.126526 19.823558
    Unten links KachelX 77596 KachelY + 1 58171 0.57811901 0.34594126 33.123779 19.820974
    Unten rechts KachelX + 1 77597 KachelY + 1 58171 0.57816695 0.34594126 33.126526 19.820974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34598635-0.34594126) × R
    4.50900000000254e-05 × 6371000     		dl = 287.268390000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34598635-0.34594126) × R
    4.50900000000254e-05 × 6371000     		dr = 287.268390000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57811901-0.57816695) × cos(0.34598635) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940741414588318 × 6371000     		do = 287.326642699095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57811901-0.57816695) × cos(0.34594126) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940756704766631 × 6371000     		du = 287.331312713121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34598635)-sin(0.34594126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940741414588318-0.940756704766631)×R²
    abs(0.57816695-0.57811901)×1.52901783131432e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52901783131432e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52901783131432e-05×40589641000000     		ar = 82540.5328400725m²