Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77595 / 57497
↖ ↑ ↗
← N 21.552730°
E 33.121033°		 ← 284.07 m → N 21.552730°
E 33.123779°		 →
↑
284.08 m
↓
↑
284.08 m
↓
N 21.550175°
E 33.121033°		 ← 284.08 m →
80 700 m²		 N 21.550175°
E 33.123779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592006683349609 y=0.438671112060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592006683349609 × 217)
    floor (0.592006683349609 × 131072)
    floor (77595.5)     		tx = 77595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438671112060547 × 217)
    floor (0.438671112060547 × 131072)
    floor (57497.5)     		ty = 57497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77595 / 57497 ti = "17/77595/57497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77595/57497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77595 ÷ 217
    77595 ÷ 131072     		x = 0.592002868652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57497 ÷ 217
    57497 ÷ 131072     		y = 0.438667297363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592002868652344 × 2 - 1) × π
    0.184005737304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.57807107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438667297363281 × 2 - 1) × π
    0.122665405273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.385364736045631
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57807107} λ = 0.57807107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385364736045631))-π/2
    2×atan(1.47015044052238)-π/2
    2×0.973481213068015-π/2
    1.94696242613603-1.57079632675     		φ = 0.37616610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57807107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.121033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37616610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.552730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77595 KachelY 57497 0.57807107 0.37616610 33.121033 21.552730
    Oben rechts KachelX + 1 77596 KachelY 57497 0.57811901 0.37616610 33.123779 21.552730
    Unten links KachelX 77595 KachelY + 1 57498 0.57807107 0.37612151 33.121033 21.550175
    Unten rechts KachelX + 1 77596 KachelY + 1 57498 0.57811901 0.37612151 33.123779 21.550175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37616610-0.37612151) × R
    4.4590000000011e-05 × 6371000     		dl = 284.08289000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37616610-0.37612151) × R
    4.4590000000011e-05 × 6371000     		dr = 284.08289000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57807107-0.57811901) × cos(0.37616610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930079878965903 × 6371000     		do = 284.070335292085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57807107-0.57811901) × cos(0.37612151) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930096258505276 × 6371000     		du = 284.075338025019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37616610)-sin(0.37612151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930079878965903-0.930096258505276)×R²
    abs(0.57811901-0.57807107)×1.6379539372946e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6379539372946e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6379539372946e-05×40589641000000     		ar = 80700.2324219136m²