Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77592 / 58199
↖ ↑ ↗
← N 19.748610°
E 33.112793°		 ← 287.46 m → N 19.748610°
E 33.115540°		 →
↑
287.46 m
↓
↑
287.46 m
↓
N 19.746024°
E 33.112793°		 ← 287.47 m →
82 634 m²		 N 19.746024°
E 33.115540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591983795166016 y=0.444026947021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591983795166016 × 217)
    floor (0.591983795166016 × 131072)
    floor (77592.5)     		tx = 77592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444026947021484 × 217)
    floor (0.444026947021484 × 131072)
    floor (58199.5)     		ty = 58199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77592 / 58199 ti = "17/77592/58199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77592/58199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77592 ÷ 217
    77592 ÷ 131072     		x = 0.59197998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58199 ÷ 217
    58199 ÷ 131072     		y = 0.444023132324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59197998046875 × 2 - 1) × π
    0.1839599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57792726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444023132324219 × 2 - 1) × π
    0.111953735351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.351713032512352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57792726} λ = 0.57792726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351713032512352))-π/2
    2×atan(1.42150054074359)-π/2
    2×0.957737290882114-π/2
    1.91547458176423-1.57079632675     		φ = 0.34467826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57792726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.112793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34467826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.748610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77592 KachelY 58199 0.57792726 0.34467826 33.112793 19.748610
    Oben rechts KachelX + 1 77593 KachelY 58199 0.57797520 0.34467826 33.115540 19.748610
    Unten links KachelX 77592 KachelY + 1 58200 0.57792726 0.34463314 33.112793 19.746024
    Unten rechts KachelX + 1 77593 KachelY + 1 58200 0.57797520 0.34463314 33.115540 19.746024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34467826-0.34463314) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dl = 287.459520000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34467826-0.34463314) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dr = 287.459520000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57792726-0.57797520) × cos(0.34467826) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941184215295095 × 6371000     		do = 287.461885432635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57792726-0.57797520) × cos(0.34463314) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941199460108833 × 6371000     		du = 287.466541591152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34467826)-sin(0.34463314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941184215295095-0.941199460108833)×R²
    abs(0.57797520-0.57792726)×1.52448137380468e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52448137380468e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52448137380468e-05×40589641000000     		ar = 82634.3248473318m²