Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77591 / 57433
↖ ↑ ↗
← N 21.716128°
E 33.110046°		 ← 283.75 m → N 21.716128°
E 33.112793°		 →
↑
283.76 m
↓
↑
283.76 m
↓
N 21.713576°
E 33.110046°		 ← 283.75 m →
80 519 m²		 N 21.713576°
E 33.112793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591976165771484 y=0.438182830810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591976165771484 × 217)
    floor (0.591976165771484 × 131072)
    floor (77591.5)     		tx = 77591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438182830810547 × 217)
    floor (0.438182830810547 × 131072)
    floor (57433.5)     		ty = 57433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77591 / 57433 ti = "17/77591/57433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77591/57433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77591 ÷ 217
    77591 ÷ 131072     		x = 0.591972351074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57433 ÷ 217
    57433 ÷ 131072     		y = 0.438179016113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591972351074219 × 2 - 1) × π
    0.183944702148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.57787932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438179016113281 × 2 - 1) × π
    0.123641967773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.388432697621315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57787932} λ = 0.57787932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.388432697621315))-π/2
    2×atan(1.47466773147871)-π/2
    2×0.974907132115846-π/2
    1.94981426423169-1.57079632675     		φ = 0.37901794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57787932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.110046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37901794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.716128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77591 KachelY 57433 0.57787932 0.37901794 33.110046 21.716128
    Oben rechts KachelX + 1 77592 KachelY 57433 0.57792726 0.37901794 33.112793 21.716128
    Unten links KachelX 77591 KachelY + 1 57434 0.57787932 0.37897340 33.110046 21.713576
    Unten rechts KachelX + 1 77592 KachelY + 1 57434 0.57792726 0.37897340 33.112793 21.713576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37901794-0.37897340) × R
    4.45399999999818e-05 × 6371000     		dl = 283.764339999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37901794-0.37897340) × R
    4.45399999999818e-05 × 6371000     		dr = 283.764339999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57787932-0.57792726) × cos(0.37901794) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.929028453852669 × 6371000     		do = 283.749202999478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57787932-0.57792726) × cos(0.37897340) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.929044933100227 × 6371000     		du = 283.754236185858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37901794)-sin(0.37897340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929028453852669-0.929044933100227)×R²
    abs(0.57792726-0.57787932)×1.64792475577658e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.64792475577658e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.64792475577658e-05×40589641000000     		ar = 80518.6194474005m²