Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77590 / 57100
↖ ↑ ↗
← N 22.563293°
E 33.107300°		 ← 281.99 m → N 22.563293°
E 33.110046°		 →
↑
282.04 m
↓
↑
282.04 m
↓
N 22.560757°
E 33.107300°		 ← 281.99 m →
79 534 m²		 N 22.560757°
E 33.110046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591968536376953 y=0.435642242431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591968536376953 × 217)
    floor (0.591968536376953 × 131072)
    floor (77590.5)     		tx = 77590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435642242431641 × 217)
    floor (0.435642242431641 × 131072)
    floor (57100.5)     		ty = 57100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77590 / 57100 ti = "17/77590/57100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77590/57100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77590 ÷ 217
    77590 ÷ 131072     		x = 0.591964721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57100 ÷ 217
    57100 ÷ 131072     		y = 0.435638427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591964721679688 × 2 - 1) × π
    0.183929443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57783139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435638427734375 × 2 - 1) × π
    0.12872314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.404395685194794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57783139} λ = 0.57783139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404395685194794))-π/2
    2×atan(1.49839672307329)-π/2
    2×0.982300041998684-π/2
    1.96460008399737-1.57079632675     		φ = 0.39380376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57783139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.107300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39380376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.563293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77590 KachelY 57100 0.57783139 0.39380376 33.107300 22.563293
    Oben rechts KachelX + 1 77591 KachelY 57100 0.57787932 0.39380376 33.110046 22.563293
    Unten links KachelX 77590 KachelY + 1 57101 0.57783139 0.39375949 33.107300 22.560757
    Unten rechts KachelX + 1 77591 KachelY + 1 57101 0.57787932 0.39375949 33.110046 22.560757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39380376-0.39375949) × R
    4.42700000000129e-05 × 6371000     		dl = 282.044170000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39380376-0.39375949) × R
    4.42700000000129e-05 × 6371000     		dr = 282.044170000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57783139-0.57787932) × cos(0.39380376) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.923456226801699 × 6371000     		do = 281.98846803248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57783139-0.57787932) × cos(0.39375949) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.923473212463493 × 6371000     		du = 281.993654808646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39380376)-sin(0.39375949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923456226801699-0.923473212463493)×R²
    abs(0.57787932-0.57783139)×1.69856617940889e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69856617940889e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69856617940889e-05×40589641000000     		ar = 79533.9348787859m²