Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77590 / 57095
↖ ↑ ↗
← N 22.575975°
E 33.107300°		 ← 281.96 m → N 22.575975°
E 33.110046°		 →
↑
282.04 m
↓
↑
282.04 m
↓
N 22.573438°
E 33.107300°		 ← 281.97 m →
79 527 m²		 N 22.573438°
E 33.110046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591968536376953 y=0.435604095458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591968536376953 × 217)
    floor (0.591968536376953 × 131072)
    floor (77590.5)     		tx = 77590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435604095458984 × 217)
    floor (0.435604095458984 × 131072)
    floor (57095.5)     		ty = 57095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77590 / 57095 ti = "17/77590/57095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77590/57095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77590 ÷ 217
    77590 ÷ 131072     		x = 0.591964721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57095 ÷ 217
    57095 ÷ 131072     		y = 0.435600280761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591964721679688 × 2 - 1) × π
    0.183929443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57783139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435600280761719 × 2 - 1) × π
    0.128799438476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.404635369692894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57783139} λ = 0.57783139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404635369692894))-π/2
    2×atan(1.49875590858369)-π/2
    2×0.982410705980186-π/2
    1.96482141196037-1.57079632675     		φ = 0.39402509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57783139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.107300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39402509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.575975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77590 KachelY 57095 0.57783139 0.39402509 33.107300 22.575975
    Oben rechts KachelX + 1 77591 KachelY 57095 0.57787932 0.39402509 33.110046 22.575975
    Unten links KachelX 77590 KachelY + 1 57096 0.57783139 0.39398082 33.107300 22.573438
    Unten rechts KachelX + 1 77591 KachelY + 1 57096 0.57787932 0.39398082 33.110046 22.573438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39402509-0.39398082) × R
    4.42700000000129e-05 × 6371000     		dl = 282.044170000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39402509-0.39398082) × R
    4.42700000000129e-05 × 6371000     		dr = 282.044170000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57783139-0.57787932) × cos(0.39402509) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.92337127902426 × 6371000     		do = 281.962528206717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57783139-0.57787932) × cos(0.39398082) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.923388273734003 × 6371000     		du = 281.967717745784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39402509)-sin(0.39398082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92337127902426-0.923388273734003)×R²
    abs(0.57787932-0.57783139)×1.69947097430345e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69947097430345e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69947097430345e-05×40589641000000     		ar = 79526.6190917514m²