Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7759 / 9302
↖ ↑ ↗
← S 23.684774°
W  9.514160°		 ← 2 237.42 m → S 23.684774°
W  9.492188°		 →
↑
2 237.30 m
↓
↑
2 237.30 m
↓
S 23.704895°
W  9.514160°		 ← 2 237.08 m →
5 005 406 m²		 S 23.704895°
W  9.492188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473602294921875 y=0.567779541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473602294921875 × 214)
    floor (0.473602294921875 × 16384)
    floor (7759.5)     		tx = 7759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567779541015625 × 214)
    floor (0.567779541015625 × 16384)
    floor (9302.5)     		ty = 9302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7759 / 9302 ti = "14/7759/9302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7759/9302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7759 ÷ 214
    7759 ÷ 16384     		x = 0.47357177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9302 ÷ 214
    9302 ÷ 16384     		y = 0.5677490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47357177734375 × 2 - 1) × π
    -0.0528564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16605342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5677490234375 × 2 - 1) × π
    -0.135498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.425679668626099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16605342} λ = -0.16605342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.425679668626099))-π/2
    2×atan(0.653325589288292)-π/2
    2×0.57870951750131-π/2
    1.15741903500262-1.57079632675     		φ = -0.41337729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16605342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.514160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41337729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.684774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7759 KachelY 9302 -0.16605342 -0.41337729 -9.514160 -23.684774
    Oben rechts KachelX + 1 7760 KachelY 9302 -0.16566993 -0.41337729 -9.492188 -23.684774
    Unten links KachelX 7759 KachelY + 1 9303 -0.16605342 -0.41372846 -9.514160 -23.704895
    Unten rechts KachelX + 1 7760 KachelY + 1 9303 -0.16566993 -0.41372846 -9.492188 -23.704895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41337729--0.41372846) × R
    0.000351170000000012 × 6371000     		dl = 2237.30407000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41337729--0.41372846) × R
    0.000351170000000012 × 6371000     		dr = 2237.30407000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16605342--0.16566993) × cos(-0.41337729) × R
    0.000383490000000014 × 0.915769375703161 × 6371000     		do = 2237.42128294711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16605342--0.16566993) × cos(-0.41372846) × R
    0.000383490000000014 × 0.915628252694238 × 6371000     		du = 2237.0764891245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41337729)-sin(-0.41372846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915769375703161-0.915628252694238)×R²
    abs(-0.16566993--0.16605342)×0.000141123008922328×R²
    0.000383490000000014×0.000141123008922328×6371000²
    0.000383490000000014×0.000141123008922328×40589641000000     		ar = 5005406.08977061m²