Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77584 / 57424
↖ ↑ ↗
← N 21.739091°
E 33.090821°		 ← 283.64 m → N 21.739091°
E 33.093567°		 →
↑
283.70 m
↓
↑
283.70 m
↓
N 21.736540°
E 33.090821°		 ← 283.65 m →
80 471 m²		 N 21.736540°
E 33.093567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591922760009766 y=0.438114166259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591922760009766 × 217)
    floor (0.591922760009766 × 131072)
    floor (77584.5)     		tx = 77584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438114166259766 × 217)
    floor (0.438114166259766 × 131072)
    floor (57424.5)     		ty = 57424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77584 / 57424 ti = "17/77584/57424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77584/57424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77584 ÷ 217
    77584 ÷ 131072     		x = 0.5919189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57424 ÷ 217
    57424 ÷ 131072     		y = 0.4381103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5919189453125 × 2 - 1) × π
    0.183837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57754377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4381103515625 × 2 - 1) × π
    0.123779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.388864129717896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57754377} λ = 0.57754377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.388864129717896))-π/2
    2×atan(1.47530408773225)-π/2
    2×0.975107522462573-π/2
    1.95021504492515-1.57079632675     		φ = 0.37941872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57754377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.090821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37941872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.739091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77584 KachelY 57424 0.57754377 0.37941872 33.090821 21.739091
    Oben rechts KachelX + 1 77585 KachelY 57424 0.57759170 0.37941872 33.093567 21.739091
    Unten links KachelX 77584 KachelY + 1 57425 0.57754377 0.37937419 33.090821 21.736540
    Unten rechts KachelX + 1 77585 KachelY + 1 57425 0.57759170 0.37937419 33.093567 21.736540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37941872-0.37937419) × R
    4.45299999999871e-05 × 6371000     		dl = 283.700629999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37941872-0.37937419) × R
    4.45299999999871e-05 × 6371000     		dr = 283.700629999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57754377-0.57759170) × cos(0.37941872) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.92888008732324 × 6371000     		do = 283.644709091775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57754377-0.57759170) × cos(0.37937419) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.928896579450075 × 6371000     		du = 283.649745161105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37941872)-sin(0.37937419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92888008732324-0.928896579450075)×R²
    abs(0.57759170-0.57754377)×1.64921268350771e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64921268350771e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64921268350771e-05×40589641000000     		ar = 80470.8970468457m²