Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7758 / 9299
↖ ↑ ↗
← S 23.624395°
W  9.536133°		 ← 2 238.51 m → S 23.624395°
W  9.514160°		 →
↑
2 238.32 m
↓
↑
2 238.32 m
↓
S 23.644524°
W  9.536133°		 ← 2 238.17 m →
5 010 130 m²		 S 23.644524°
W  9.514160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473541259765625 y=0.567596435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473541259765625 × 214)
    floor (0.473541259765625 × 16384)
    floor (7758.5)     		tx = 7758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567596435546875 × 214)
    floor (0.567596435546875 × 16384)
    floor (9299.5)     		ty = 9299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7758 / 9299 ti = "14/7758/9299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7758/9299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7758 ÷ 214
    7758 ÷ 16384     		x = 0.4735107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9299 ÷ 214
    9299 ÷ 16384     		y = 0.56756591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.052978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16643692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56756591796875 × 2 - 1) × π
    -0.1351318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.424529183035217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16643692} λ = -0.16643692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.424529183035217))-π/2
    2×atan(0.654077663507243)-π/2
    2×0.579236428887092-π/2
    1.15847285777418-1.57079632675     		φ = -0.41232347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16643692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.536133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41232347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.624395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7758 KachelY 9299 -0.16643692 -0.41232347 -9.536133 -23.624395
    Oben rechts KachelX + 1 7759 KachelY 9299 -0.16605342 -0.41232347 -9.514160 -23.624395
    Unten links KachelX 7758 KachelY + 1 9300 -0.16643692 -0.41267480 -9.536133 -23.644524
    Unten rechts KachelX + 1 7759 KachelY + 1 9300 -0.16605342 -0.41267480 -9.514160 -23.644524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41232347--0.41267480) × R
    0.000351329999999983 × 6371000     		dl = 2238.32342999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41232347--0.41267480) × R
    0.000351329999999983 × 6371000     		dr = 2238.32342999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16643692--0.16605342) × cos(-0.41232347) × R
    0.000383499999999981 × 0.916192191291469 × 6371000     		do = 2238.51268285022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16643692--0.16605342) × cos(-0.41267480) × R
    0.000383499999999981 × 0.91605134306373 × 6371000     		du = 2238.16855140363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41232347)-sin(-0.41267480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916192191291469-0.91605134306373)×R²
    abs(-0.16605342--0.16643692)×0.000140848227738855×R²
    0.000383499999999981×0.000140848227738855×6371000²
    0.000383499999999981×0.000140848227738855×40589641000000     		ar = 5010130.29916948m²