Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7758 / 4304
↖ ↑ ↗
← N 64.623877°
W  9.536133°		 ← 1 047.09 m → N 64.623877°
W  9.514160°		 →
↑
1 047.26 m
↓
↑
1 047.26 m
↓
N 64.614459°
W  9.536133°		 ← 1 047.45 m →
1 096 769 m²		 N 64.614459°
W  9.514160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473541259765625 y=0.262725830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473541259765625 × 214)
    floor (0.473541259765625 × 16384)
    floor (7758.5)     		tx = 7758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262725830078125 × 214)
    floor (0.262725830078125 × 16384)
    floor (4304.5)     		ty = 4304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7758 / 4304 ti = "14/7758/4304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7758/4304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7758 ÷ 214
    7758 ÷ 16384     		x = 0.4735107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4304 ÷ 214
    4304 ÷ 16384     		y = 0.2626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.052978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16643692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2626953125 × 2 - 1) × π
    0.474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49102932578223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16643692} λ = -0.16643692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49102932578223))-π/2
    2×atan(4.4416650872033)-π/2
    2×1.34934787967843-π/2
    2.69869575935685-1.57079632675     		φ = 1.12789943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16643692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.536133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12789943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.623877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7758 KachelY 4304 -0.16643692 1.12789943 -9.536133 64.623877
    Oben rechts KachelX + 1 7759 KachelY 4304 -0.16605342 1.12789943 -9.514160 64.623877
    Unten links KachelX 7758 KachelY + 1 4305 -0.16643692 1.12773505 -9.536133 64.614459
    Unten rechts KachelX + 1 7759 KachelY + 1 4305 -0.16605342 1.12773505 -9.514160 64.614459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12789943-1.12773505) × R
    0.000164379999999964 × 6371000     		dl = 1047.26497999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12789943-1.12773505) × R
    0.000164379999999964 × 6371000     		dr = 1047.26497999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16643692--0.16605342) × cos(1.12789943) × R
    0.000383499999999981 × 0.428558646350392 × 6371000     		do = 1047.08812661697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16643692--0.16605342) × cos(1.12773505) × R
    0.000383499999999981 × 0.428707160185448 × 6371000     		du = 1047.45098727711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12789943)-sin(1.12773505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428558646350392-0.428707160185448)×R²
    abs(-0.16605342--0.16643692)×0.000148513835055986×R²
    0.000383499999999981×0.000148513835055986×6371000²
    0.000383499999999981×0.000148513835055986×40589641000000     		ar = 1096768.73408125m²