Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7758 / 1626
↖ ↑ ↗
← N 72.893802°
E160.927734°		 ← 1 437.33 m → N 72.893802°
E160.971680°		 →
↑
1 437.87 m
↓
↑
1 437.87 m
↓
N 72.880871°
E160.927734°		 ← 1 438.39 m →
2 067 455 m²		 N 72.880871°
E160.971680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94708251953125 y=0.19854736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94708251953125 × 213)
    floor (0.94708251953125 × 8192)
    floor (7758.5)     		tx = 7758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19854736328125 × 213)
    floor (0.19854736328125 × 8192)
    floor (1626.5)     		ty = 1626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7758 / 1626 ti = "13/7758/1626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7758/1626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7758 ÷ 213
    7758 ÷ 8192     		x = 0.947021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1626 ÷ 213
    1626 ÷ 8192     		y = 0.198486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947021484375 × 2 - 1) × π
    0.89404296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80871882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198486328125 × 2 - 1) × π
    0.60302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89446627298462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80871882} λ = 2.80871882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89446627298462))-π/2
    2×atan(6.64899870719716)-π/2
    2×1.42151658740865-π/2
    2.8430331748173-1.57079632675     		φ = 1.27223685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80871882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.927734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27223685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.893802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7758 KachelY 1626 2.80871882 1.27223685 160.927734 72.893802
    Oben rechts KachelX + 1 7759 KachelY 1626 2.80948581 1.27223685 160.971680 72.893802
    Unten links KachelX 7758 KachelY + 1 1627 2.80871882 1.27201116 160.927734 72.880871
    Unten rechts KachelX + 1 7759 KachelY + 1 1627 2.80948581 1.27201116 160.971680 72.880871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27223685-1.27201116) × R
    0.000225690000000167 × 6371000     		dl = 1437.87099000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27223685-1.27201116) × R
    0.000225690000000167 × 6371000     		dr = 1437.87099000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80871882-2.80948581) × cos(1.27223685) × R
    0.000766989999999801 × 0.29414371613804 × 6371000     		do = 1437.33129520382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80871882-2.80948581) × cos(1.27201116) × R
    0.000766989999999801 × 0.294359414390522 × 6371000     		du = 1438.38530326724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27223685)-sin(1.27201116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29414371613804-0.294359414390522)×R²
    abs(2.80948581-2.80871882)×0.000215698252482632×R²
    0.000766989999999801×0.000215698252482632×6371000²
    0.000766989999999801×0.000215698252482632×40589641000000     		ar = 2067454.74497857m²