Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77578 / 84219
↖ ↑ ↗
← S 45.573678°
E 33.074341°		 ← 213.75 m → S 45.573678°
E 33.077087°		 →
↑
213.75 m
↓
↑
213.75 m
↓
S 45.575600°
E 33.074341°		 ← 213.74 m →
45 688 m²		 S 45.575600°
E 33.077087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591876983642578 y=0.642543792724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591876983642578 × 217)
    floor (0.591876983642578 × 131072)
    floor (77578.5)     		tx = 77578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642543792724609 × 217)
    floor (0.642543792724609 × 131072)
    floor (84219.5)     		ty = 84219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77578 / 84219 ti = "17/77578/84219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77578/84219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77578 ÷ 217
    77578 ÷ 131072     		x = 0.591873168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84219 ÷ 217
    84219 ÷ 131072     		y = 0.642539978027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591873168945312 × 2 - 1) × π
    0.183746337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57725615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642539978027344 × 2 - 1) × π
    -0.285079956054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.895605095601509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57725615} λ = 0.57725615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895605095601509))-π/2
    2×atan(0.408360426769016)-π/2
    2×0.387692799716441-π/2
    0.775385599432882-1.57079632675     		φ = -0.79541073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57725615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.074341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79541073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.573678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77578 KachelY 84219 0.57725615 -0.79541073 33.074341 -45.573678
    Oben rechts KachelX + 1 77579 KachelY 84219 0.57730408 -0.79541073 33.077087 -45.573678
    Unten links KachelX 77578 KachelY + 1 84220 0.57725615 -0.79544428 33.074341 -45.575600
    Unten rechts KachelX + 1 77579 KachelY + 1 84220 0.57730408 -0.79544428 33.077087 -45.575600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79541073--0.79544428) × R
    3.35500000000488e-05 × 6371000     		dl = 213.747050000311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79541073--0.79544428) × R
    3.35500000000488e-05 × 6371000     		dr = 213.747050000311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57725615-0.57730408) × cos(-0.79541073) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.699991501782113 × 6371000     		do = 213.750825967065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57725615-0.57730408) × cos(-0.79544428) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.699967541616318 × 6371000     		du = 213.743509442199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79541073)-sin(-0.79544428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699991501782113-0.699967541616318)×R²
    abs(0.57730408-0.57725615)×2.39601657948674e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39601657948674e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39601657948674e-05×40589641000000     		ar = 45687.8265469443m²