Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77578 / 58106
↖ ↑ ↗
← N 19.988836°
E 33.074341°		 ← 286.97 m → N 19.988836°
E 33.077087°		 →
↑
287.01 m
↓
↑
287.01 m
↓
N 19.986255°
E 33.074341°		 ← 286.97 m →
82 364 m²		 N 19.986255°
E 33.077087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591876983642578 y=0.443317413330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591876983642578 × 217)
    floor (0.591876983642578 × 131072)
    floor (77578.5)     		tx = 77578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443317413330078 × 217)
    floor (0.443317413330078 × 131072)
    floor (58106.5)     		ty = 58106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77578 / 58106 ti = "17/77578/58106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77578/58106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77578 ÷ 217
    77578 ÷ 131072     		x = 0.591873168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58106 ÷ 217
    58106 ÷ 131072     		y = 0.443313598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591873168945312 × 2 - 1) × π
    0.183746337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57725615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443313598632812 × 2 - 1) × π
    0.113372802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.356171164177017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57725615} λ = 0.57725615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356171164177017))-π/2
    2×atan(1.42785192444857)-π/2
    2×0.959833666952022-π/2
    1.91966733390404-1.57079632675     		φ = 0.34887101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57725615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.074341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34887101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.988836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77578 KachelY 58106 0.57725615 0.34887101 33.074341 19.988836
    Oben rechts KachelX + 1 77579 KachelY 58106 0.57730408 0.34887101 33.077087 19.988836
    Unten links KachelX 77578 KachelY + 1 58107 0.57725615 0.34882596 33.074341 19.986255
    Unten rechts KachelX + 1 77579 KachelY + 1 58107 0.57730408 0.34882596 33.077087 19.986255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34887101-0.34882596) × R
    4.50499999999909e-05 × 6371000     		dl = 287.013549999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34887101-0.34882596) × R
    4.50499999999909e-05 × 6371000     		dr = 287.013549999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57725615-0.57730408) × cos(0.34887101) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.93975924228996 × 6371000     		do = 286.9667899371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57725615-0.57730408) × cos(0.34882596) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.939774641095289 × 6371000     		du = 286.971492147554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34887101)-sin(0.34882596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93975924228996-0.939774641095289)×R²
    abs(0.57730408-0.57725615)×1.539880532897e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.539880532897e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.539880532897e-05×40589641000000     		ar = 82364.0319249785m²