Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77578 / 57874
↖ ↑ ↗
← N 20.586510°
E 33.074341°		 ← 285.86 m → N 20.586510°
E 33.077087°		 →
↑
285.93 m
↓
↑
285.93 m
↓
N 20.583939°
E 33.074341°		 ← 285.87 m →
81 737 m²		 N 20.583939°
E 33.077087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591876983642578 y=0.441547393798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591876983642578 × 217)
    floor (0.591876983642578 × 131072)
    floor (77578.5)     		tx = 77578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441547393798828 × 217)
    floor (0.441547393798828 × 131072)
    floor (57874.5)     		ty = 57874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77578 / 57874 ti = "17/77578/57874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77578/57874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77578 ÷ 217
    77578 ÷ 131072     		x = 0.591873168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57874 ÷ 217
    57874 ÷ 131072     		y = 0.441543579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591873168945312 × 2 - 1) × π
    0.183746337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57725615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441543579101562 × 2 - 1) × π
    0.116912841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.36729252488887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57725615} λ = 0.57725615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.36729252488887))-π/2
    2×atan(1.44382021069345)-π/2
    2×0.965049352353994-π/2
    1.93009870470799-1.57079632675     		φ = 0.35930238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57725615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.074341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35930238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.586510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77578 KachelY 57874 0.57725615 0.35930238 33.074341 20.586510
    Oben rechts KachelX + 1 77579 KachelY 57874 0.57730408 0.35930238 33.077087 20.586510
    Unten links KachelX 77578 KachelY + 1 57875 0.57725615 0.35925750 33.074341 20.583939
    Unten rechts KachelX + 1 77579 KachelY + 1 57875 0.57730408 0.35925750 33.077087 20.583939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35930238-0.35925750) × R
    4.48799999999694e-05 × 6371000     		dl = 285.930479999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35930238-0.35925750) × R
    4.48799999999694e-05 × 6371000     		dr = 285.930479999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57725615-0.57730408) × cos(0.35930238) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936142349470459 × 6371000     		do = 285.862328203444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57725615-0.57730408) × cos(0.35925750) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936158129289236 × 6371000     		du = 285.867146760938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35930238)-sin(0.35925750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936142349470459-0.936158129289236)×R²
    abs(0.57730408-0.57725615)×1.5779818776207e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5779818776207e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5779818776207e-05×40589641000000     		ar = 81737.4416169787m²