Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77575 / 58057
↖ ↑ ↗
← N 20.115261°
E 33.066101°		 ← 286.80 m → N 20.115261°
E 33.068848°		 →
↑
286.82 m
↓
↑
286.82 m
↓
N 20.112681°
E 33.066101°		 ← 286.80 m →
82 260 m²		 N 20.112681°
E 33.068848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591854095458984 y=0.442943572998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591854095458984 × 217)
    floor (0.591854095458984 × 131072)
    floor (77575.5)     		tx = 77575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442943572998047 × 217)
    floor (0.442943572998047 × 131072)
    floor (58057.5)     		ty = 58057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77575 / 58057 ti = "17/77575/58057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77575/58057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77575 ÷ 217
    77575 ÷ 131072     		x = 0.591850280761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58057 ÷ 217
    58057 ÷ 131072     		y = 0.442939758300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591850280761719 × 2 - 1) × π
    0.183700561523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.57711233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442939758300781 × 2 - 1) × π
    0.114120483398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.3585200722584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57711233} λ = 0.57711233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3585200722584))-π/2
    2×atan(1.43120975945195)-π/2
    2×0.960936927109557-π/2
    1.92187385421911-1.57079632675     		φ = 0.35107753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57711233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.066101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35107753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.115261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77575 KachelY 58057 0.57711233 0.35107753 33.066101 20.115261
    Oben rechts KachelX + 1 77576 KachelY 58057 0.57716027 0.35107753 33.068848 20.115261
    Unten links KachelX 77575 KachelY + 1 58058 0.57711233 0.35103251 33.066101 20.112681
    Unten rechts KachelX + 1 77576 KachelY + 1 58058 0.57716027 0.35103251 33.068848 20.112681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35107753-0.35103251) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dl = 286.822420000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35107753-0.35103251) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dr = 286.822420000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57711233-0.57716027) × cos(0.35107753) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.939002684905302 × 6371000     		do = 286.795589899665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57711233-0.57716027) × cos(0.35103251) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.939018166773379 × 6371000     		du = 286.800318460679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35107753)-sin(0.35103251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939002684905302-0.939018166773379)×R²
    abs(0.57716027-0.57711233)×1.5481868076872e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.5481868076872e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.5481868076872e-05×40589641000000     		ar = 82260.0832829851m²