Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77571 / 60228
↖ ↑ ↗
← N 14.424041°
E 33.055115°		 ← 295.74 m → N 14.424041°
E 33.057861°		 →
↑
295.81 m
↓
↑
295.81 m
↓
N 14.421380°
E 33.055115°		 ← 295.74 m →
87 481 m²		 N 14.421380°
E 33.057861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591823577880859 y=0.459506988525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591823577880859 × 217)
    floor (0.591823577880859 × 131072)
    floor (77571.5)     		tx = 77571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459506988525391 × 217)
    floor (0.459506988525391 × 131072)
    floor (60228.5)     		ty = 60228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77571 / 60228 ti = "17/77571/60228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77571/60228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77571 ÷ 217
    77571 ÷ 131072     		x = 0.591819763183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60228 ÷ 217
    60228 ÷ 131072     		y = 0.459503173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591819763183594 × 2 - 1) × π
    0.183639526367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.57692059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459503173828125 × 2 - 1) × π
    0.08099365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.254449063183258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57692059} λ = 0.57692059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.254449063183258))-π/2
    2×atan(1.28975085386719)-π/2
    2×0.911271661991334-π/2
    1.82254332398267-1.57079632675     		φ = 0.25174700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57692059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.055115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25174700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.424041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77571 KachelY 60228 0.57692059 0.25174700 33.055115 14.424041
    Oben rechts KachelX + 1 77572 KachelY 60228 0.57696852 0.25174700 33.057861 14.424041
    Unten links KachelX 77571 KachelY + 1 60229 0.57692059 0.25170057 33.055115 14.421380
    Unten rechts KachelX + 1 77572 KachelY + 1 60229 0.57696852 0.25170057 33.057861 14.421380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25174700-0.25170057) × R
    4.64299999999862e-05 × 6371000     		dl = 295.805529999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25174700-0.25170057) × R
    4.64299999999862e-05 × 6371000     		dr = 295.805529999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57692059-0.57696852) × cos(0.25174700) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.968478728649341 × 6371000     		do = 295.736630592363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57692059-0.57696852) × cos(0.25170057) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.968490293145296 × 6371000     		du = 295.740161950324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25174700)-sin(0.25170057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968478728649341-0.968490293145296)×R²
    abs(0.57696852-0.57692059)×1.15644959550742e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.15644959550742e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.15644959550742e-05×40589641000000     		ar = 87481.0530660858m²