Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77570 / 60226
↖ ↑ ↗
← N 14.429361°
E 33.052368°		 ← 295.79 m → N 14.429361°
E 33.055115°		 →
↑
295.81 m
↓
↑
295.81 m
↓
N 14.426700°
E 33.052368°		 ← 295.79 m →
87 497 m²		 N 14.426700°
E 33.055115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591815948486328 y=0.459491729736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591815948486328 × 217)
    floor (0.591815948486328 × 131072)
    floor (77570.5)     		tx = 77570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459491729736328 × 217)
    floor (0.459491729736328 × 131072)
    floor (60226.5)     		ty = 60226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77570 / 60226 ti = "17/77570/60226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77570/60226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77570 ÷ 217
    77570 ÷ 131072     		x = 0.591812133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60226 ÷ 217
    60226 ÷ 131072     		y = 0.459487915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591812133789062 × 2 - 1) × π
    0.183624267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57687265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459487915039062 × 2 - 1) × π
    0.081024169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.254544936982498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57687265} λ = 0.57687265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.254544936982498))-π/2
    2×atan(1.28987451310937)-π/2
    2×0.911318087304538-π/2
    1.82263617460908-1.57079632675     		φ = 0.25183985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57687265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.052368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25183985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.429361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77570 KachelY 60226 0.57687265 0.25183985 33.052368 14.429361
    Oben rechts KachelX + 1 77571 KachelY 60226 0.57692059 0.25183985 33.055115 14.429361
    Unten links KachelX 77570 KachelY + 1 60227 0.57687265 0.25179342 33.052368 14.426700
    Unten rechts KachelX + 1 77571 KachelY + 1 60227 0.57692059 0.25179342 33.055115 14.426700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25183985-0.25179342) × R
    4.64299999999862e-05 × 6371000     		dl = 295.805529999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25183985-0.25179342) × R
    4.64299999999862e-05 × 6371000     		dr = 295.805529999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57687265-0.57692059) × cos(0.25183985) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.968455595885939 × 6371000     		do = 295.79126703041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57687265-0.57692059) × cos(0.25179342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.968467164557006 × 6371000     		du = 295.794800400331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25183985)-sin(0.25179342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968455595885939-0.968467164557006)×R²
    abs(0.57692059-0.57687265)×1.1568671066664e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.1568671066664e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.1568671066664e-05×40589641000000     		ar = 87497.2151241683m²