Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77570 / 60223
↖ ↑ ↗
← N 14.437340°
E 33.052368°		 ← 295.78 m → N 14.437340°
E 33.055115°		 →
↑
295.74 m
↓
↑
295.74 m
↓
N 14.434680°
E 33.052368°		 ← 295.78 m →
87 475 m²		 N 14.434680°
E 33.055115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591815948486328 y=0.459468841552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591815948486328 × 217)
    floor (0.591815948486328 × 131072)
    floor (77570.5)     		tx = 77570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459468841552734 × 217)
    floor (0.459468841552734 × 131072)
    floor (60223.5)     		ty = 60223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77570 / 60223 ti = "17/77570/60223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77570/60223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77570 ÷ 217
    77570 ÷ 131072     		x = 0.591812133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60223 ÷ 217
    60223 ÷ 131072     		y = 0.459465026855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591812133789062 × 2 - 1) × π
    0.183624267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57687265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459465026855469 × 2 - 1) × π
    0.0810699462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.254688747681358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57687265} λ = 0.57687265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.254688747681358))-π/2
    2×atan(1.29006002420346)-π/2
    2×0.911387723194651-π/2
    1.8227754463893-1.57079632675     		φ = 0.25197912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57687265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.052368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25197912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.437340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77570 KachelY 60223 0.57687265 0.25197912 33.052368 14.437340
    Oben rechts KachelX + 1 77571 KachelY 60223 0.57692059 0.25197912 33.055115 14.437340
    Unten links KachelX 77570 KachelY + 1 60224 0.57687265 0.25193270 33.052368 14.434680
    Unten rechts KachelX + 1 77571 KachelY + 1 60224 0.57692059 0.25193270 33.055115 14.434680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25197912-0.25193270) × R
    4.64199999999915e-05 × 6371000     		dl = 295.741819999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25197912-0.25193270) × R
    4.64199999999915e-05 × 6371000     		dr = 295.741819999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57687265-0.57692059) × cos(0.25197912) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.968420882332801 × 6371000     		do = 295.780664617755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57687265-0.57692059) × cos(0.25193270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.968432454773362 × 6371000     		du = 295.784199138977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25197912)-sin(0.25193270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968420882332801-0.968432454773362)×R²
    abs(0.57692059-0.57687265)×1.15724405610473e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.15724405610473e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.15724405610473e-05×40589641000000     		ar = 87475.234743433m²