Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7757 / 4305
↖ ↑ ↗
← N 64.614459°
W  9.558105°		 ← 1 047.42 m → N 64.614459°
W  9.536133°		 →
↑
1 047.58 m
↓
↑
1 047.58 m
↓
N 64.605038°
W  9.558105°		 ← 1 047.79 m →
1 097 454 m²		 N 64.605038°
W  9.536133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473480224609375 y=0.262786865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473480224609375 × 214)
    floor (0.473480224609375 × 16384)
    floor (7757.5)     		tx = 7757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262786865234375 × 214)
    floor (0.262786865234375 × 16384)
    floor (4305.5)     		ty = 4305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7757 / 4305 ti = "14/7757/4305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7757/4305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7757 ÷ 214
    7757 ÷ 16384     		x = 0.47344970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4305 ÷ 214
    4305 ÷ 16384     		y = 0.26275634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47344970703125 × 2 - 1) × π
    -0.0531005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16682041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26275634765625 × 2 - 1) × π
    0.4744873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49064583058527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16682041} λ = -0.16682041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49064583058527))-π/2
    2×atan(4.43996205654876)-π/2
    2×1.34926569034979-π/2
    2.69853138069958-1.57079632675     		φ = 1.12773505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16682041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.558105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12773505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.614459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7757 KachelY 4305 -0.16682041 1.12773505 -9.558105 64.614459
    Oben rechts KachelX + 1 7758 KachelY 4305 -0.16643692 1.12773505 -9.536133 64.614459
    Unten links KachelX 7757 KachelY + 1 4306 -0.16682041 1.12757062 -9.558105 64.605038
    Unten rechts KachelX + 1 7758 KachelY + 1 4306 -0.16643692 1.12757062 -9.536133 64.605038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12773505-1.12757062) × R
    0.000164430000000104 × 6371000     		dl = 1047.58353000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12773505-1.12757062) × R
    0.000164430000000104 × 6371000     		dr = 1047.58353000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16682041--0.16643692) × cos(1.12773505) × R
    0.000383490000000014 × 0.428707160185448 × 6371000     		do = 1047.42367434403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16682041--0.16643692) × cos(1.12757062) × R
    0.000383490000000014 × 0.428855707605151 × 6371000     		du = 1047.78660759686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12773505)-sin(1.12757062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428707160185448-0.428855707605151)×R²
    abs(-0.16643692--0.16682041)×0.000148547419703104×R²
    0.000383490000000014×0.000148547419703104×6371000²
    0.000383490000000014×0.000148547419703104×40589641000000     		ar = 1097453.894097m²