Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77569 / 83710
↖ ↑ ↗
← S 44.586555°
E 33.049621°		 ← 217.52 m → S 44.586555°
E 33.052368°		 →
↑
217.51 m
↓
↑
217.51 m
↓
S 44.588511°
E 33.049621°		 ← 217.51 m →
47 311 m²		 S 44.588511°
E 33.052368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591808319091797 y=0.638660430908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591808319091797 × 217)
    floor (0.591808319091797 × 131072)
    floor (77569.5)     		tx = 77569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638660430908203 × 217)
    floor (0.638660430908203 × 131072)
    floor (83710.5)     		ty = 83710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77569 / 83710 ti = "17/77569/83710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77569/83710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77569 ÷ 217
    77569 ÷ 131072     		x = 0.591804504394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83710 ÷ 217
    83710 ÷ 131072     		y = 0.638656616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591804504394531 × 2 - 1) × π
    0.183609008789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.57682471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638656616210938 × 2 - 1) × π
    -0.277313232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.871205213694901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57682471} λ = 0.57682471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.871205213694901))-π/2
    2×atan(0.418446927252737)-π/2
    2×0.396307068817795-π/2
    0.79261413763559-1.57079632675     		φ = -0.77818219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57682471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.049621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77818219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.586555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77569 KachelY 83710 0.57682471 -0.77818219 33.049621 -44.586555
    Oben rechts KachelX + 1 77570 KachelY 83710 0.57687265 -0.77818219 33.052368 -44.586555
    Unten links KachelX 77569 KachelY + 1 83711 0.57682471 -0.77821633 33.049621 -44.588511
    Unten rechts KachelX + 1 77570 KachelY + 1 83711 0.57687265 -0.77821633 33.052368 -44.588511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77818219--0.77821633) × R
    3.41400000000158e-05 × 6371000     		dl = 217.505940000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77818219--0.77821633) × R
    3.41400000000158e-05 × 6371000     		dr = 217.505940000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57682471-0.57687265) × cos(-0.77818219) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.71219079108639 × 6371000     		do = 217.521399388603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57682471-0.57687265) × cos(-0.77821633) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.712166824870943 × 6371000     		du = 217.514079489516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77818219)-sin(-0.77821633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71219079108639-0.712166824870943)×R²
    abs(0.57687265-0.57682471)×2.39662154468689e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39662154468689e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39662154468689e-05×40589641000000     		ar = 47311.4003879282m²