Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77568 / 60160
↖ ↑ ↗
← N 14.604847°
E 33.046875°		 ← 295.50 m → N 14.604847°
E 33.049621°		 →
↑
295.55 m
↓
↑
295.55 m
↓
N 14.602189°
E 33.046875°		 ← 295.50 m →
87 334 m²		 N 14.602189°
E 33.049621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591800689697266 y=0.458988189697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591800689697266 × 217)
    floor (0.591800689697266 × 131072)
    floor (77568.5)     		tx = 77568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458988189697266 × 217)
    floor (0.458988189697266 × 131072)
    floor (60160.5)     		ty = 60160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77568 / 60160 ti = "17/77568/60160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77568/60160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77568 ÷ 217
    77568 ÷ 131072     		x = 0.591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60160 ÷ 217
    60160 ÷ 131072     		y = 0.458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591796875 × 2 - 1) × π
    0.18359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57677678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458984375 × 2 - 1) × π
    0.08203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.257708772357422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57677678} λ = 0.57677678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.257708772357422))-π/2
    2×atan(1.29396192626479)-π/2
    2×0.912849498196993-π/2
    1.82569899639399-1.57079632675     		φ = 0.25490267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57677678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25490267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.604847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77568 KachelY 60160 0.57677678 0.25490267 33.046875 14.604847
    Oben rechts KachelX + 1 77569 KachelY 60160 0.57682471 0.25490267 33.049621 14.604847
    Unten links KachelX 77568 KachelY + 1 60161 0.57677678 0.25485628 33.046875 14.602189
    Unten rechts KachelX + 1 77569 KachelY + 1 60161 0.57682471 0.25485628 33.049621 14.602189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25490267-0.25485628) × R
    4.63900000000073e-05 × 6371000     		dl = 295.550690000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25490267-0.25485628) × R
    4.63900000000073e-05 × 6371000     		dr = 295.550690000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57677678-0.57682471) × cos(0.25490267) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.96768784215076 × 6371000     		do = 295.495123885656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57677678-0.57682471) × cos(0.25485628) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.967699538404825 × 6371000     		du = 295.498695477541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25490267)-sin(0.25485628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96768784215076-0.967699538404825)×R²
    abs(0.57682471-0.57677678)×1.16962540652743e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.16962540652743e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.16962540652743e-05×40589641000000     		ar = 87334.3155649602m²