Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77562 / 60227
↖ ↑ ↗
← N 14.426700°
E 33.030395°		 ← 295.79 m → N 14.426700°
E 33.033142°		 →
↑
295.74 m
↓
↑
295.74 m
↓
N 14.424041°
E 33.030395°		 ← 295.80 m →
87 479 m²		 N 14.424041°
E 33.033142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591754913330078 y=0.459499359130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591754913330078 × 217)
    floor (0.591754913330078 × 131072)
    floor (77562.5)     		tx = 77562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459499359130859 × 217)
    floor (0.459499359130859 × 131072)
    floor (60227.5)     		ty = 60227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77562 / 60227 ti = "17/77562/60227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77562/60227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77562 ÷ 217
    77562 ÷ 131072     		x = 0.591751098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60227 ÷ 217
    60227 ÷ 131072     		y = 0.459495544433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591751098632812 × 2 - 1) × π
    0.183502197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57648915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459495544433594 × 2 - 1) × π
    0.0810089111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.254497000082878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57648915} λ = 0.57648915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.254497000082878))-π/2
    2×atan(1.28981268200632)-π/2
    2×0.911294874786551-π/2
    1.8225897495731-1.57079632675     		φ = 0.25179342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57648915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.030395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25179342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.426700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77562 KachelY 60227 0.57648915 0.25179342 33.030395 14.426700
    Oben rechts KachelX + 1 77563 KachelY 60227 0.57653709 0.25179342 33.033142 14.426700
    Unten links KachelX 77562 KachelY + 1 60228 0.57648915 0.25174700 33.030395 14.424041
    Unten rechts KachelX + 1 77563 KachelY + 1 60228 0.57653709 0.25174700 33.033142 14.424041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25179342-0.25174700) × R
    4.64199999999915e-05 × 6371000     		dl = 295.741819999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25179342-0.25174700) × R
    4.64199999999915e-05 × 6371000     		dr = 295.741819999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57648915-0.57653709) × cos(0.25179342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.968467164557006 × 6371000     		do = 295.794800400331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57648915-0.57653709) × cos(0.25174700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.968478728649341 × 6371000     		du = 295.79833237179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25179342)-sin(0.25174700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968467164557006-0.968478728649341)×R²
    abs(0.57653709-0.57648915)×1.15640923358251e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.15640923358251e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.15640923358251e-05×40589641000000     		ar = 87479.4149084308m²