Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77560 / 60216
↖ ↑ ↗
← N 14.455958°
E 33.024902°		 ← 295.76 m → N 14.455958°
E 33.027649°		 →
↑
295.74 m
↓
↑
295.74 m
↓
N 14.453299°
E 33.024902°		 ← 295.76 m →
87 468 m²		 N 14.453299°
E 33.027649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591739654541016 y=0.459415435791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591739654541016 × 217)
    floor (0.591739654541016 × 131072)
    floor (77560.5)     		tx = 77560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459415435791016 × 217)
    floor (0.459415435791016 × 131072)
    floor (60216.5)     		ty = 60216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77560 / 60216 ti = "17/77560/60216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77560/60216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77560 ÷ 217
    77560 ÷ 131072     		x = 0.59173583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60216 ÷ 217
    60216 ÷ 131072     		y = 0.45941162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59173583984375 × 2 - 1) × π
    0.1834716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57639328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45941162109375 × 2 - 1) × π
    0.0811767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.255024305978699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57639328} λ = 0.57639328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.255024305978699))-π/2
    2×atan(1.29049298718675)-π/2
    2×0.911550197226475-π/2
    1.82310039445295-1.57079632675     		φ = 0.25230407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57639328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.024902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25230407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.455958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77560 KachelY 60216 0.57639328 0.25230407 33.024902 14.455958
    Oben rechts KachelX + 1 77561 KachelY 60216 0.57644122 0.25230407 33.027649 14.455958
    Unten links KachelX 77560 KachelY + 1 60217 0.57639328 0.25225765 33.024902 14.453299
    Unten rechts KachelX + 1 77561 KachelY + 1 60217 0.57644122 0.25225765 33.027649 14.453299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25230407-0.25225765) × R
    4.64199999999915e-05 × 6371000     		dl = 295.741819999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25230407-0.25225765) × R
    4.64199999999915e-05 × 6371000     		dr = 295.741819999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57639328-0.57644122) × cos(0.25230407) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.968339814324375 × 6371000     		do = 295.755904361291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57639328-0.57644122) × cos(0.25225765) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.968351401372246 × 6371000     		du = 295.759443343961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25230407)-sin(0.25225765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968339814324375-0.968351401372246)×R²
    abs(0.57644122-0.57639328)×1.15870478710756e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.15870478710756e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.15870478710756e-05×40589641000000     		ar = 87467.9127598666m²