Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77558 / 60230
↖ ↑ ↗
← N 14.418720°
E 33.019409°		 ← 295.74 m → N 14.418720°
E 33.022156°		 →
↑
295.74 m
↓
↑
295.74 m
↓
N 14.416060°
E 33.019409°		 ← 295.75 m →
87 464 m²		 N 14.416060°
E 33.022156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591724395751953 y=0.459522247314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591724395751953 × 217)
    floor (0.591724395751953 × 131072)
    floor (77558.5)     		tx = 77558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459522247314453 × 217)
    floor (0.459522247314453 × 131072)
    floor (60230.5)     		ty = 60230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77558 / 60230 ti = "17/77558/60230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77558/60230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77558 ÷ 217
    77558 ÷ 131072     		x = 0.591720581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60230 ÷ 217
    60230 ÷ 131072     		y = 0.459518432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591720581054688 × 2 - 1) × π
    0.183441162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57629741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459518432617188 × 2 - 1) × π
    0.080963134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.254353189384018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57629741} λ = 0.57629741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.254353189384018))-π/2
    2×atan(1.28962720648013)-π/2
    2×0.911225235569397-π/2
    1.82245047113879-1.57079632675     		φ = 0.25165414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57629741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.019409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25165414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.418720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77558 KachelY 60230 0.57629741 0.25165414 33.019409 14.418720
    Oben rechts KachelX + 1 77559 KachelY 60230 0.57634534 0.25165414 33.022156 14.418720
    Unten links KachelX 77558 KachelY + 1 60231 0.57629741 0.25160772 33.019409 14.416060
    Unten rechts KachelX + 1 77559 KachelY + 1 60231 0.57634534 0.25160772 33.022156 14.416060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25165414-0.25160772) × R
    4.6420000000047e-05 × 6371000     		dl = 295.741820000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25165414-0.25160772) × R
    4.6420000000047e-05 × 6371000     		dr = 295.741820000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57629741-0.57634534) × cos(0.25165414) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.968501855553434 × 6371000     		do = 295.743692670744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57629741-0.57634534) × cos(0.25160772) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.968513413384114 × 6371000     		du = 295.747221993383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25165414)-sin(0.25160772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968501855553434-0.968513413384114)×R²
    abs(0.57634534-0.57629741)×1.15578306804087e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.15578306804087e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.15578306804087e-05×40589641000000     		ar = 87464.2998239295m²