Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77557 / 60177
↖ ↑ ↗
← N 14.559659°
E 33.016663°		 ← 295.62 m → N 14.559659°
E 33.019409°		 →
↑
295.55 m
↓
↑
295.55 m
↓
N 14.557001°
E 33.016663°		 ← 295.62 m →
87 370 m²		 N 14.557001°
E 33.019409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591716766357422 y=0.459117889404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591716766357422 × 217)
    floor (0.591716766357422 × 131072)
    floor (77557.5)     		tx = 77557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459117889404297 × 217)
    floor (0.459117889404297 × 131072)
    floor (60177.5)     		ty = 60177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77557 / 60177 ti = "17/77557/60177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77557/60177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77557 ÷ 217
    77557 ÷ 131072     		x = 0.591712951660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60177 ÷ 217
    60177 ÷ 131072     		y = 0.459114074707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591712951660156 × 2 - 1) × π
    0.183425903320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.57624947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459114074707031 × 2 - 1) × π
    0.0817718505859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.256893845063881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57624947} λ = 0.57624947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.256893845063881))-π/2
    2×atan(1.29290787092184)-π/2
    2×0.912455160106851-π/2
    1.8249103202137-1.57079632675     		φ = 0.25411399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57624947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.016663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25411399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.559659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77557 KachelY 60177 0.57624947 0.25411399 33.016663 14.559659
    Oben rechts KachelX + 1 77558 KachelY 60177 0.57629741 0.25411399 33.019409 14.559659
    Unten links KachelX 77557 KachelY + 1 60178 0.57624947 0.25406760 33.016663 14.557001
    Unten rechts KachelX + 1 77558 KachelY + 1 60178 0.57629741 0.25406760 33.019409 14.557001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25411399-0.25406760) × R
    4.63900000000073e-05 × 6371000     		dl = 295.550690000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25411399-0.25406760) × R
    4.63900000000073e-05 × 6371000     		dr = 295.550690000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57624947-0.57629741) × cos(0.25411399) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.967886407799382 × 6371000     		do = 295.617422337874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57624947-0.57629741) × cos(0.25406760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.967898068644935 × 6371000     		du = 295.620983860256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25411399)-sin(0.25406760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967886407799382-0.967898068644935)×R²
    abs(0.57629741-0.57624947)×1.16608455527079e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16608455527079e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16608455527079e-05×40589641000000     		ar = 87370.4594687723m²