Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77557 / 60005
↖ ↑ ↗
← N 15.016422°
E 33.016663°		 ← 295 m → N 15.016422°
E 33.019409°		 →
↑
294.98 m
↓
↑
294.98 m
↓
N 15.013769°
E 33.016663°		 ← 295 m →
87 018 m²		 N 15.013769°
E 33.019409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591716766357422 y=0.457805633544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591716766357422 × 217)
    floor (0.591716766357422 × 131072)
    floor (77557.5)     		tx = 77557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457805633544922 × 217)
    floor (0.457805633544922 × 131072)
    floor (60005.5)     		ty = 60005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77557 / 60005 ti = "17/77557/60005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77557/60005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77557 ÷ 217
    77557 ÷ 131072     		x = 0.591712951660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60005 ÷ 217
    60005 ÷ 131072     		y = 0.457801818847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591712951660156 × 2 - 1) × π
    0.183425903320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.57624947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457801818847656 × 2 - 1) × π
    0.0843963623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.265138991798531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57624947} λ = 0.57624947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.265138991798531))-π/2
    2×atan(1.30361215458485)-π/2
    2×0.91644116815644-π/2
    1.83288233631288-1.57079632675     		φ = 0.26208601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57624947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.016663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26208601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.016422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77557 KachelY 60005 0.57624947 0.26208601 33.016663 15.016422
    Oben rechts KachelX + 1 77558 KachelY 60005 0.57629741 0.26208601 33.019409 15.016422
    Unten links KachelX 77557 KachelY + 1 60006 0.57624947 0.26203971 33.016663 15.013769
    Unten rechts KachelX + 1 77558 KachelY + 1 60006 0.57629741 0.26203971 33.019409 15.013769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26208601-0.26203971) × R
    4.62999999999991e-05 × 6371000     		dl = 294.977299999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26208601-0.26203971) × R
    4.62999999999991e-05 × 6371000     		dr = 294.977299999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57624947-0.57629741) × cos(0.26208601) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965851603329248 × 6371000     		do = 294.995940676828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57624947-0.57629741) × cos(0.26203971) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965863598433719 × 6371000     		du = 294.999604290488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26208601)-sin(0.26203971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965851603329248-0.965863598433719)×R²
    abs(0.57629741-0.57624947)×1.19951044712518e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.19951044712518e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.19951044712518e-05×40589641000000     		ar = 87017.6464487438m²