Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77557 / 57229
↖ ↑ ↗
← N 22.235717°
E 33.016663°		 ← 282.71 m → N 22.235717°
E 33.019409°		 →
↑
282.68 m
↓
↑
282.68 m
↓
N 22.233175°
E 33.016663°		 ← 282.72 m →
79 918 m²		 N 22.233175°
E 33.019409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591716766357422 y=0.436626434326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591716766357422 × 217)
    floor (0.591716766357422 × 131072)
    floor (77557.5)     		tx = 77557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436626434326172 × 217)
    floor (0.436626434326172 × 131072)
    floor (57229.5)     		ty = 57229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77557 / 57229 ti = "17/77557/57229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77557/57229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77557 ÷ 217
    77557 ÷ 131072     		x = 0.591712951660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57229 ÷ 217
    57229 ÷ 131072     		y = 0.436622619628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591712951660156 × 2 - 1) × π
    0.183425903320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.57624947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436622619628906 × 2 - 1) × π
    0.126754760742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.398211825143806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57624947} λ = 0.57624947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.398211825143806))-π/2
    2×atan(1.48915943791251)-π/2
    2×0.979441405403276-π/2
    1.95888281080655-1.57079632675     		φ = 0.38808648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57624947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.016663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38808648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.235717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77557 KachelY 57229 0.57624947 0.38808648 33.016663 22.235717
    Oben rechts KachelX + 1 77558 KachelY 57229 0.57629741 0.38808648 33.019409 22.235717
    Unten links KachelX 77557 KachelY + 1 57230 0.57624947 0.38804211 33.016663 22.233175
    Unten rechts KachelX + 1 77558 KachelY + 1 57230 0.57629741 0.38804211 33.019409 22.233175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38808648-0.38804211) × R
    4.43700000000158e-05 × 6371000     		dl = 282.681270000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38808648-0.38804211) × R
    4.43700000000158e-05 × 6371000     		dr = 282.681270000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57624947-0.57629741) × cos(0.38808648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925634864245524 × 6371000     		do = 282.712713381803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57624947-0.57629741) × cos(0.38804211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92565165373607 × 6371000     		du = 282.717841324378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38808648)-sin(0.38804211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925634864245524-0.92565165373607)×R²
    abs(0.57629741-0.57624947)×1.67894905457322e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67894905457322e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67894905457322e-05×40589641000000     		ar = 79918.3136637502m²