Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77557 / 56965
↖ ↑ ↗
← N 22.905274°
E 33.016663°		 ← 281.34 m → N 22.905274°
E 33.019409°		 →
↑
281.34 m
↓
↑
281.34 m
↓
N 22.902743°
E 33.016663°		 ← 281.35 m →
79 155 m²		 N 22.902743°
E 33.019409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591716766357422 y=0.434612274169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591716766357422 × 217)
    floor (0.591716766357422 × 131072)
    floor (77557.5)     		tx = 77557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434612274169922 × 217)
    floor (0.434612274169922 × 131072)
    floor (56965.5)     		ty = 56965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77557 / 56965 ti = "17/77557/56965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77557/56965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77557 ÷ 217
    77557 ÷ 131072     		x = 0.591712951660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56965 ÷ 217
    56965 ÷ 131072     		y = 0.434608459472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591712951660156 × 2 - 1) × π
    0.183425903320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.57624947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434608459472656 × 2 - 1) × π
    0.130783081054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.410867166643501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57624947} λ = 0.57624947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.410867166643501))-π/2
    2×atan(1.50812501394464)-π/2
    2×0.985284382380711-π/2
    1.97056876476142-1.57079632675     		φ = 0.39977244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57624947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.016663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39977244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.905274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77557 KachelY 56965 0.57624947 0.39977244 33.016663 22.905274
    Oben rechts KachelX + 1 77558 KachelY 56965 0.57629741 0.39977244 33.019409 22.905274
    Unten links KachelX 77557 KachelY + 1 56966 0.57624947 0.39972828 33.016663 22.902743
    Unten rechts KachelX + 1 77558 KachelY + 1 56966 0.57629741 0.39972828 33.019409 22.902743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39977244-0.39972828) × R
    4.41600000000153e-05 × 6371000     		dl = 281.343360000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39977244-0.39972828) × R
    4.41600000000153e-05 × 6371000     		dr = 281.343360000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57624947-0.57629741) × cos(0.39977244) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92114958619219 × 6371000     		do = 281.342794013259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57624947-0.57629741) × cos(0.39972828) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921166772751779 × 6371000     		du = 281.348043230939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39977244)-sin(0.39972828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92114958619219-0.921166772751779)×R²
    abs(0.57629741-0.57624947)×1.7186559588489e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7186559588489e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7186559588489e-05×40589641000000     		ar = 79154.6654086189m²