Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77556 / 60155
↖ ↑ ↗
← N 14.618136°
E 33.013916°		 ← 295.54 m → N 14.618136°
E 33.016663°		 →
↑
295.49 m
↓
↑
295.49 m
↓
N 14.615478°
E 33.013916°		 ← 295.54 m →
87 328 m²		 N 14.615478°
E 33.016663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591709136962891 y=0.458950042724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591709136962891 × 217)
    floor (0.591709136962891 × 131072)
    floor (77556.5)     		tx = 77556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458950042724609 × 217)
    floor (0.458950042724609 × 131072)
    floor (60155.5)     		ty = 60155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77556 / 60155 ti = "17/77556/60155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77556/60155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77556 ÷ 217
    77556 ÷ 131072     		x = 0.591705322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60155 ÷ 217
    60155 ÷ 131072     		y = 0.458946228027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591705322265625 × 2 - 1) × π
    0.18341064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57620153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458946228027344 × 2 - 1) × π
    0.0821075439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.257948456855522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57620153} λ = 0.57620153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.257948456855522))-π/2
    2×atan(1.29427210605081)-π/2
    2×0.912965464578997-π/2
    1.82593092915799-1.57079632675     		φ = 0.25513460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57620153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.013916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25513460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.618136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77556 KachelY 60155 0.57620153 0.25513460 33.013916 14.618136
    Oben rechts KachelX + 1 77557 KachelY 60155 0.57624947 0.25513460 33.016663 14.618136
    Unten links KachelX 77556 KachelY + 1 60156 0.57620153 0.25508822 33.013916 14.615478
    Unten rechts KachelX + 1 77557 KachelY + 1 60156 0.57624947 0.25508822 33.016663 14.615478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25513460-0.25508822) × R
    4.63800000000125e-05 × 6371000     		dl = 295.48698000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25513460-0.25508822) × R
    4.63800000000125e-05 × 6371000     		dr = 295.48698000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57620153-0.57624947) × cos(0.25513460) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.967629334691021 × 6371000     		do = 295.538905594203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57620153-0.57624947) × cos(0.25508822) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.967641038833105 × 6371000     		du = 295.54248034046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25513460)-sin(0.25508822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967629334691021-0.967641038833105)×R²
    abs(0.57624947-0.57620153)×1.17041420845121e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.17041420845121e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.17041420845121e-05×40589641000000     		ar = 87328.4268476807m²