Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77555 / 56966
↖ ↑ ↗
← N 22.902743°
E 33.011170°		 ← 281.29 m → N 22.902743°
E 33.013916°		 →
↑
281.34 m
↓
↑
281.34 m
↓
N 22.900213°
E 33.011170°		 ← 281.29 m →
79 140 m²		 N 22.900213°
E 33.013916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591701507568359 y=0.434619903564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591701507568359 × 217)
    floor (0.591701507568359 × 131072)
    floor (77555.5)     		tx = 77555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434619903564453 × 217)
    floor (0.434619903564453 × 131072)
    floor (56966.5)     		ty = 56966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77555 / 56966 ti = "17/77555/56966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77555/56966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77555 ÷ 217
    77555 ÷ 131072     		x = 0.591697692871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56966 ÷ 217
    56966 ÷ 131072     		y = 0.434616088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591697692871094 × 2 - 1) × π
    0.183395385742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.57615360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434616088867188 × 2 - 1) × π
    0.130767822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.410819229743881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57615360} λ = 0.57615360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.410819229743881))-π/2
    2×atan(1.50805272084)-π/2
    2×0.985262303647109-π/2
    1.97052460729422-1.57079632675     		φ = 0.39972828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57615360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.011170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39972828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.902743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77555 KachelY 56966 0.57615360 0.39972828 33.011170 22.902743
    Oben rechts KachelX + 1 77556 KachelY 56966 0.57620153 0.39972828 33.013916 22.902743
    Unten links KachelX 77555 KachelY + 1 56967 0.57615360 0.39968412 33.011170 22.900213
    Unten rechts KachelX + 1 77556 KachelY + 1 56967 0.57620153 0.39968412 33.013916 22.900213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39972828-0.39968412) × R
    4.41600000000153e-05 × 6371000     		dl = 281.343360000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39972828-0.39968412) × R
    4.41600000000153e-05 × 6371000     		dr = 281.343360000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57615360-0.57620153) × cos(0.39972828) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.921166772751779 × 6371000     		do = 281.289355695553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57615360-0.57620153) × cos(0.39968412) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.921183957514995 × 6371000     		du = 281.294603269733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39972828)-sin(0.39968412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921166772751779-0.921183957514995)×R²
    abs(0.57620153-0.57615360)×1.71847632159938e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.71847632159938e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.71847632159938e-05×40589641000000     		ar = 79139.6306615839m²