Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77553 / 60017
↖ ↑ ↗
← N 14.984586°
E 33.005676°		 ← 295.04 m → N 14.984586°
E 33.008423°		 →
↑
295.04 m
↓
↑
295.04 m
↓
N 14.981933°
E 33.005676°		 ← 295.04 m →
87 049 m²		 N 14.981933°
E 33.008423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591686248779297 y=0.457897186279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591686248779297 × 217)
    floor (0.591686248779297 × 131072)
    floor (77553.5)     		tx = 77553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457897186279297 × 217)
    floor (0.457897186279297 × 131072)
    floor (60017.5)     		ty = 60017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77553 / 60017 ti = "17/77553/60017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77553/60017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77553 ÷ 217
    77553 ÷ 131072     		x = 0.591682434082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60017 ÷ 217
    60017 ÷ 131072     		y = 0.457893371582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591682434082031 × 2 - 1) × π
    0.183364868164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.57605772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457893371582031 × 2 - 1) × π
    0.0842132568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.26456374900309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57605772} λ = 0.57605772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.26456374900309))-π/2
    2×atan(1.30286247672894)-π/2
    2×0.916163347879482-π/2
    1.83232669575896-1.57079632675     		φ = 0.26153037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57605772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.005676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26153037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.984586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77553 KachelY 60017 0.57605772 0.26153037 33.005676 14.984586
    Oben rechts KachelX + 1 77554 KachelY 60017 0.57610566 0.26153037 33.008423 14.984586
    Unten links KachelX 77553 KachelY + 1 60018 0.57605772 0.26148406 33.005676 14.981933
    Unten rechts KachelX + 1 77554 KachelY + 1 60018 0.57610566 0.26148406 33.008423 14.981933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26153037-0.26148406) × R
    4.63099999999939e-05 × 6371000     		dl = 295.041009999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26153037-0.26148406) × R
    4.63099999999939e-05 × 6371000     		dr = 295.041009999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57605772-0.57610566) × cos(0.26153037) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965995418265816 × 6371000     		do = 295.039865460253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57605772-0.57610566) × cos(0.26148406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.966007391105801 × 6371000     		du = 295.043522273765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26153037)-sin(0.26148406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965995418265816-0.966007391105801)×R²
    abs(0.57610566-0.57605772)×1.19728399852193e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.19728399852193e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.19728399852193e-05×40589641000000     		ar = 87049.3993661202m²