Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77552 / 58000
↖ ↑ ↗
← N 20.262197°
E 33.002930°		 ← 286.47 m → N 20.262197°
E 33.005676°		 →
↑
286.50 m
↓
↑
286.50 m
↓
N 20.259620°
E 33.002930°		 ← 286.47 m →
82 074 m²		 N 20.259620°
E 33.005676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591678619384766 y=0.442508697509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591678619384766 × 217)
    floor (0.591678619384766 × 131072)
    floor (77552.5)     		tx = 77552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442508697509766 × 217)
    floor (0.442508697509766 × 131072)
    floor (58000.5)     		ty = 58000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77552 / 58000 ti = "17/77552/58000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77552/58000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77552 ÷ 217
    77552 ÷ 131072     		x = 0.5916748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58000 ÷ 217
    58000 ÷ 131072     		y = 0.4425048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5916748046875 × 2 - 1) × π
    0.183349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57600979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4425048828125 × 2 - 1) × π
    0.114990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.361252475536743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57600979} λ = 0.57600979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361252475536743))-π/2
    2×atan(1.435125749286)-π/2
    2×0.962219190145719-π/2
    1.92443838029144-1.57079632675     		φ = 0.35364205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57600979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.002930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35364205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.262197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77552 KachelY 58000 0.57600979 0.35364205 33.002930 20.262197
    Oben rechts KachelX + 1 77553 KachelY 58000 0.57605772 0.35364205 33.005676 20.262197
    Unten links KachelX 77552 KachelY + 1 58001 0.57600979 0.35359708 33.002930 20.259620
    Unten rechts KachelX + 1 77553 KachelY + 1 58001 0.57605772 0.35359708 33.005676 20.259620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35364205-0.35359708) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dl = 286.503869999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35364205-0.35359708) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dr = 286.503869999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57600979-0.57605772) × cos(0.35364205) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.938117634487603 × 6371000     		do = 286.465505246108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57600979-0.57605772) × cos(0.35359708) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.938133207404081 × 6371000     		du = 286.470260623496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35364205)-sin(0.35359708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938117634487603-0.938133207404081)×R²
    abs(0.57605772-0.57600979)×1.55729164779128e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55729164779128e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55729164779128e-05×40589641000000     		ar = 82074.1571053313m²