Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77552 / 56969
↖ ↑ ↗
← N 22.895153°
E 33.002930°		 ← 281.31 m → N 22.895153°
E 33.005676°		 →
↑
281.34 m
↓
↑
281.34 m
↓
N 22.892623°
E 33.002930°		 ← 281.31 m →
79 144 m²		 N 22.892623°
E 33.005676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591678619384766 y=0.434642791748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591678619384766 × 217)
    floor (0.591678619384766 × 131072)
    floor (77552.5)     		tx = 77552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434642791748047 × 217)
    floor (0.434642791748047 × 131072)
    floor (56969.5)     		ty = 56969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77552 / 56969 ti = "17/77552/56969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77552/56969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77552 ÷ 217
    77552 ÷ 131072     		x = 0.5916748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56969 ÷ 217
    56969 ÷ 131072     		y = 0.434638977050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5916748046875 × 2 - 1) × π
    0.183349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57600979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434638977050781 × 2 - 1) × π
    0.130722045898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.410675419045021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57600979} λ = 0.57600979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.410675419045021))-π/2
    2×atan(1.50783586231796)-π/2
    2×0.985196064975081-π/2
    1.97039212995016-1.57079632675     		φ = 0.39959580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57600979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.002930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39959580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.895153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77552 KachelY 56969 0.57600979 0.39959580 33.002930 22.895153
    Oben rechts KachelX + 1 77553 KachelY 56969 0.57605772 0.39959580 33.005676 22.895153
    Unten links KachelX 77552 KachelY + 1 56970 0.57600979 0.39955164 33.002930 22.892623
    Unten rechts KachelX + 1 77553 KachelY + 1 56970 0.57605772 0.39955164 33.005676 22.892623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39959580-0.39955164) × R
    4.41600000000153e-05 × 6371000     		dl = 281.343360000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39959580-0.39955164) × R
    4.41600000000153e-05 × 6371000     		dr = 281.343360000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57600979-0.57605772) × cos(0.39959580) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.921218321652176 × 6371000     		do = 281.305096773073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57600979-0.57605772) × cos(0.39955164) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.921235501026073 × 6371000     		du = 281.310342701561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39959580)-sin(0.39955164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921218321652176-0.921235501026073)×R²
    abs(0.57605772-0.57600979)×1.71793738974468e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.71793738974468e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.71793738974468e-05×40589641000000     		ar = 79144.0590777145m²