Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77551 / 58031
↖ ↑ ↗
← N 20.182301°
E 33.000183°		 ← 286.67 m → N 20.182301°
E 33.002930°		 →
↑
286.63 m
↓
↑
286.63 m
↓
N 20.179724°
E 33.000183°		 ← 286.68 m →
82 170 m²		 N 20.179724°
E 33.002930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591670989990234 y=0.442745208740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591670989990234 × 217)
    floor (0.591670989990234 × 131072)
    floor (77551.5)     		tx = 77551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442745208740234 × 217)
    floor (0.442745208740234 × 131072)
    floor (58031.5)     		ty = 58031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77551 / 58031 ti = "17/77551/58031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77551/58031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77551 ÷ 217
    77551 ÷ 131072     		x = 0.591667175292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58031 ÷ 217
    58031 ÷ 131072     		y = 0.442741394042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591667175292969 × 2 - 1) × π
    0.183334350585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.57596185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442741394042969 × 2 - 1) × π
    0.114517211914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.359766431648521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57596185} λ = 0.57596185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359766431648521))-π/2
    2×atan(1.43299467326586)-π/2
    2×0.961521968989675-π/2
    1.92304393797935-1.57079632675     		φ = 0.35224761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57596185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.000183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35224761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.182301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77551 KachelY 58031 0.57596185 0.35224761 33.000183 20.182301
    Oben rechts KachelX + 1 77552 KachelY 58031 0.57600979 0.35224761 33.002930 20.182301
    Unten links KachelX 77551 KachelY + 1 58032 0.57596185 0.35220262 33.000183 20.179724
    Unten rechts KachelX + 1 77552 KachelY + 1 58032 0.57600979 0.35220262 33.002930 20.179724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35224761-0.35220262) × R
    4.4989999999967e-05 × 6371000     		dl = 286.63128999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35224761-0.35220262) × R
    4.4989999999967e-05 × 6371000     		dr = 286.63128999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57596185-0.57600979) × cos(0.35224761) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938599640217875 × 6371000     		do = 286.67248967709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57596185-0.57600979) × cos(0.35220262) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938615161190615 × 6371000     		du = 286.677230181675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35224761)-sin(0.35220262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938599640217875-0.938615161190615)×R²
    abs(0.57600979-0.57596185)×1.55209727399352e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55209727399352e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55209727399352e-05×40589641000000     		ar = 82169.9849259559m²