Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77550 / 84174
↖ ↑ ↗
← S 45.487095°
E 32.997436°		 ← 214.12 m → S 45.487095°
E 33.000183°		 →
↑
214.13 m
↓
↑
214.13 m
↓
S 45.489020°
E 32.997436°		 ← 214.12 m →
45 850 m²		 S 45.489020°
E 33.000183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591663360595703 y=0.642200469970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591663360595703 × 217)
    floor (0.591663360595703 × 131072)
    floor (77550.5)     		tx = 77550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642200469970703 × 217)
    floor (0.642200469970703 × 131072)
    floor (84174.5)     		ty = 84174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77550 / 84174 ti = "17/77550/84174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77550/84174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77550 ÷ 217
    77550 ÷ 131072     		x = 0.591659545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84174 ÷ 217
    84174 ÷ 131072     		y = 0.642196655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591659545898438 × 2 - 1) × π
    0.183319091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57591391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642196655273438 × 2 - 1) × π
    -0.284393310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.893447935118607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57591391} λ = 0.57591391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893447935118607))-π/2
    2×atan(0.409242276548208)-π/2
    2×0.388448378283812-π/2
    0.776896756567625-1.57079632675     		φ = -0.79389957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57591391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.997436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79389957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.487095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77550 KachelY 84174 0.57591391 -0.79389957 32.997436 -45.487095
    Oben rechts KachelX + 1 77551 KachelY 84174 0.57596185 -0.79389957 33.000183 -45.487095
    Unten links KachelX 77550 KachelY + 1 84175 0.57591391 -0.79393318 32.997436 -45.489020
    Unten rechts KachelX + 1 77551 KachelY + 1 84175 0.57596185 -0.79393318 33.000183 -45.489020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79389957--0.79393318) × R
    3.36100000000172e-05 × 6371000     		dl = 214.12931000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79389957--0.79393318) × R
    3.36100000000172e-05 × 6371000     		dr = 214.12931000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57591391-0.57596185) × cos(-0.79389957) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.701069898805734 × 6371000     		do = 214.124792634326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57591391-0.57596185) × cos(-0.79393318) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.701045931368871 × 6371000     		du = 214.117472362186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79389957)-sin(-0.79393318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701069898805734-0.701045931368871)×R²
    abs(0.57596185-0.57591391)×2.39674368622822e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39674368622822e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39674368622822e-05×40589641000000     		ar = 45849.6103624745m²