Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77550 / 60182
↖ ↑ ↗
← N 14.546367°
E 32.997436°		 ← 295.64 m → N 14.546367°
E 33.000183°		 →
↑
295.61 m
↓
↑
295.61 m
↓
N 14.543709°
E 32.997436°		 ← 295.64 m →
87 395 m²		 N 14.543709°
E 33.000183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591663360595703 y=0.459156036376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591663360595703 × 217)
    floor (0.591663360595703 × 131072)
    floor (77550.5)     		tx = 77550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459156036376953 × 217)
    floor (0.459156036376953 × 131072)
    floor (60182.5)     		ty = 60182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77550 / 60182 ti = "17/77550/60182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77550/60182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77550 ÷ 217
    77550 ÷ 131072     		x = 0.591659545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60182 ÷ 217
    60182 ÷ 131072     		y = 0.459152221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591659545898438 × 2 - 1) × π
    0.183319091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57591391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459152221679688 × 2 - 1) × π
    0.081695556640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.256654160565781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57591391} λ = 0.57591391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.256654160565781))-π/2
    2×atan(1.29259801808266)-π/2
    2×0.912339162929459-π/2
    1.82467832585892-1.57079632675     		φ = 0.25388200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57591391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.997436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25388200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.546367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77550 KachelY 60182 0.57591391 0.25388200 32.997436 14.546367
    Oben rechts KachelX + 1 77551 KachelY 60182 0.57596185 0.25388200 33.000183 14.546367
    Unten links KachelX 77550 KachelY + 1 60183 0.57591391 0.25383560 32.997436 14.543709
    Unten rechts KachelX + 1 77551 KachelY + 1 60183 0.57596185 0.25383560 33.000183 14.543709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25388200-0.25383560) × R
    4.6400000000002e-05 × 6371000     		dl = 295.614400000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25388200-0.25383560) × R
    4.6400000000002e-05 × 6371000     		dr = 295.614400000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57591391-0.57596185) × cos(0.25388200) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.967944701243955 × 6371000     		do = 295.63522665632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57591391-0.57596185) × cos(0.25383560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.967956354183907 × 6371000     		du = 295.638785764128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25388200)-sin(0.25383560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967944701243955-0.967956354183907)×R²
    abs(0.57596185-0.57591391)×1.16529399522003e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16529399522003e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16529399522003e-05×40589641000000     		ar = 87394.556224318m²