Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7755 / 4386
↖ ↑ ↗
← N 63.840668°
W  9.602051°		 ← 1 077.14 m → N 63.840668°
W  9.580078°		 →
↑
1 077.34 m
↓
↑
1 077.34 m
↓
N 63.830980°
W  9.602051°		 ← 1 077.51 m →
1 160 639 m²		 N 63.830980°
W  9.580078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473358154296875 y=0.267730712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473358154296875 × 214)
    floor (0.473358154296875 × 16384)
    floor (7755.5)     		tx = 7755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267730712890625 × 214)
    floor (0.267730712890625 × 16384)
    floor (4386.5)     		ty = 4386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7755 / 4386 ti = "14/7755/4386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7755/4386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7755 ÷ 214
    7755 ÷ 16384     		x = 0.47332763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4386 ÷ 214
    4386 ÷ 16384     		y = 0.2677001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47332763671875 × 2 - 1) × π
    -0.0533447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16758740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2677001953125 × 2 - 1) × π
    0.464599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.45958271963147
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16758740} λ = -0.16758740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45958271963147))-π/2
    2×atan(4.3041631107973)-π/2
    2×1.34251309388918-π/2
    2.68502618777837-1.57079632675     		φ = 1.11422986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16758740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.602051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11422986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.840668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7755 KachelY 4386 -0.16758740 1.11422986 -9.602051 63.840668
    Oben rechts KachelX + 1 7756 KachelY 4386 -0.16720391 1.11422986 -9.580078 63.840668
    Unten links KachelX 7755 KachelY + 1 4387 -0.16758740 1.11406076 -9.602051 63.830980
    Unten rechts KachelX + 1 7756 KachelY + 1 4387 -0.16720391 1.11406076 -9.580078 63.830980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11422986-1.11406076) × R
    0.000169099999999922 × 6371000     		dl = 1077.3360999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11422986-1.11406076) × R
    0.000169099999999922 × 6371000     		dr = 1077.3360999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16758740--0.16720391) × cos(1.11422986) × R
    0.000383489999999986 × 0.440868870123979 × 6371000     		do = 1077.13734393746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16758740--0.16720391) × cos(1.11406076) × R
    0.000383489999999986 × 0.441020643164557 × 6371000     		du = 1077.50815807492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11422986)-sin(1.11406076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440868870123979-0.441020643164557)×R²
    abs(-0.16720391--0.16758740)×0.000151773040578007×R²
    0.000383489999999986×0.000151773040578007×6371000²
    0.000383489999999986×0.000151773040578007×40589641000000     		ar = 1160638.69377581m²