Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7755 / 4283
↖ ↑ ↗
← N 64.820907°
W  9.602051°		 ← 1 039.46 m → N 64.820907°
W  9.580078°		 →
↑
1 039.62 m
↓
↑
1 039.62 m
↓
N 64.811557°
W  9.602051°		 ← 1 039.82 m →
1 080 834 m²		 N 64.811557°
W  9.580078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473358154296875 y=0.261444091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473358154296875 × 214)
    floor (0.473358154296875 × 16384)
    floor (7755.5)     		tx = 7755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261444091796875 × 214)
    floor (0.261444091796875 × 16384)
    floor (4283.5)     		ty = 4283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7755 / 4283 ti = "14/7755/4283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7755/4283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7755 ÷ 214
    7755 ÷ 16384     		x = 0.47332763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4283 ÷ 214
    4283 ÷ 16384     		y = 0.26141357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47332763671875 × 2 - 1) × π
    -0.0533447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16758740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26141357421875 × 2 - 1) × π
    0.4771728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4990827249184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16758740} λ = -0.16758740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4990827249184))-π/2
    2×atan(4.47758001348619)-π/2
    2×1.35106729006838-π/2
    2.70213458013677-1.57079632675     		φ = 1.13133825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16758740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.602051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13133825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.820907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7755 KachelY 4283 -0.16758740 1.13133825 -9.602051 64.820907
    Oben rechts KachelX + 1 7756 KachelY 4283 -0.16720391 1.13133825 -9.580078 64.820907
    Unten links KachelX 7755 KachelY + 1 4284 -0.16758740 1.13117507 -9.602051 64.811557
    Unten rechts KachelX + 1 7756 KachelY + 1 4284 -0.16720391 1.13117507 -9.580078 64.811557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13133825-1.13117507) × R
    0.000163179999999929 × 6371000     		dl = 1039.61977999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13133825-1.13117507) × R
    0.000163179999999929 × 6371000     		dr = 1039.61977999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16758740--0.16720391) × cos(1.13133825) × R
    0.000383489999999986 × 0.425449096623732 × 6371000     		do = 1039.4635252632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16758740--0.16720391) × cos(1.13117507) × R
    0.000383489999999986 × 0.425596765979697 × 6371000     		du = 1039.82431321773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13133825)-sin(1.13117507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425449096623732-0.425596765979697)×R²
    abs(-0.16720391--0.16758740)×0.000147669355964775×R²
    0.000383489999999986×0.000147669355964775×6371000²
    0.000383489999999986×0.000147669355964775×40589641000000     		ar = 1080834.3849964m²