Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77548 / 60167
↖ ↑ ↗
← N 14.586242°
E 32.991943°		 ← 295.58 m → N 14.586242°
E 32.994690°		 →
↑
295.55 m
↓
↑
295.55 m
↓
N 14.583584°
E 32.991943°		 ← 295.59 m →
87 360 m²		 N 14.583584°
E 32.994690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591648101806641 y=0.459041595458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591648101806641 × 217)
    floor (0.591648101806641 × 131072)
    floor (77548.5)     		tx = 77548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459041595458984 × 217)
    floor (0.459041595458984 × 131072)
    floor (60167.5)     		ty = 60167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77548 / 60167 ti = "17/77548/60167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77548/60167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77548 ÷ 217
    77548 ÷ 131072     		x = 0.591644287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60167 ÷ 217
    60167 ÷ 131072     		y = 0.459037780761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591644287109375 × 2 - 1) × π
    0.18328857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57581804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459037780761719 × 2 - 1) × π
    0.0819244384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.257373214060082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57581804} λ = 0.57581804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.257373214060082))-π/2
    2×atan(1.29352779944549)-π/2
    2×0.912687133488636-π/2
    1.82537426697727-1.57079632675     		φ = 0.25457794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57581804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.991943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25457794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.586242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77548 KachelY 60167 0.57581804 0.25457794 32.991943 14.586242
    Oben rechts KachelX + 1 77549 KachelY 60167 0.57586598 0.25457794 32.994690 14.586242
    Unten links KachelX 77548 KachelY + 1 60168 0.57581804 0.25453155 32.991943 14.583584
    Unten rechts KachelX + 1 77549 KachelY + 1 60168 0.57586598 0.25453155 32.994690 14.583584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25457794-0.25453155) × R
    4.63900000000073e-05 × 6371000     		dl = 295.550690000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25457794-0.25453155) × R
    4.63900000000073e-05 × 6371000     		dr = 295.550690000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57581804-0.57586598) × cos(0.25457794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.967769672195406 × 6371000     		do = 295.581768279646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57581804-0.57586598) × cos(0.25453155) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.9677813538713 × 6371000     		du = 295.58533616415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25457794)-sin(0.25453155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967769672195406-0.9677813538713)×R²
    abs(0.57586598-0.57581804)×1.16816758937155e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16816758937155e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16816758937155e-05×40589641000000     		ar = 87359.9228275753m²