Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77547 / 60181
↖ ↑ ↗
← N 14.549026°
E 32.989197°		 ← 295.63 m → N 14.549026°
E 32.991943°		 →
↑
295.61 m
↓
↑
295.61 m
↓
N 14.546367°
E 32.989197°		 ← 295.64 m →
87 394 m²		 N 14.546367°
E 32.991943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591640472412109 y=0.459148406982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591640472412109 × 217)
    floor (0.591640472412109 × 131072)
    floor (77547.5)     		tx = 77547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459148406982422 × 217)
    floor (0.459148406982422 × 131072)
    floor (60181.5)     		ty = 60181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77547 / 60181 ti = "17/77547/60181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77547/60181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77547 ÷ 217
    77547 ÷ 131072     		x = 0.591636657714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60181 ÷ 217
    60181 ÷ 131072     		y = 0.459144592285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591636657714844 × 2 - 1) × π
    0.183273315429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.57577010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459144592285156 × 2 - 1) × π
    0.0817108154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.256702097465401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57577010} λ = 0.57577010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.256702097465401))-π/2
    2×atan(1.29265998270928)-π/2
    2×0.912362362923782-π/2
    1.82472472584756-1.57079632675     		φ = 0.25392840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57577010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.989197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25392840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.549026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77547 KachelY 60181 0.57577010 0.25392840 32.989197 14.549026
    Oben rechts KachelX + 1 77548 KachelY 60181 0.57581804 0.25392840 32.991943 14.549026
    Unten links KachelX 77547 KachelY + 1 60182 0.57577010 0.25388200 32.989197 14.546367
    Unten rechts KachelX + 1 77548 KachelY + 1 60182 0.57581804 0.25388200 32.991943 14.546367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25392840-0.25388200) × R
    4.6400000000002e-05 × 6371000     		dl = 295.614400000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25392840-0.25388200) × R
    4.6400000000002e-05 × 6371000     		dr = 295.614400000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57577010-0.57581804) × cos(0.25392840) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.967933046220056 × 6371000     		do = 295.631666912706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57577010-0.57581804) × cos(0.25388200) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.967944701243955 × 6371000     		du = 295.635226657005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25392840)-sin(0.25388200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967933046220056-0.967944701243955)×R²
    abs(0.57581804-0.57577010)×1.16550238983271e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.16550238983271e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.16550238983271e-05×40589641000000     		ar = 87393.5040068825m²