Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77547 / 58029
↖ ↑ ↗
← N 20.187457°
E 32.989197°		 ← 286.66 m → N 20.187457°
E 32.991943°		 →
↑
286.69 m
↓
↑
286.69 m
↓
N 20.184879°
E 32.989197°		 ← 286.67 m →
82 186 m²		 N 20.184879°
E 32.991943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591640472412109 y=0.442729949951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591640472412109 × 217)
    floor (0.591640472412109 × 131072)
    floor (77547.5)     		tx = 77547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442729949951172 × 217)
    floor (0.442729949951172 × 131072)
    floor (58029.5)     		ty = 58029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77547 / 58029 ti = "17/77547/58029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77547/58029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77547 ÷ 217
    77547 ÷ 131072     		x = 0.591636657714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58029 ÷ 217
    58029 ÷ 131072     		y = 0.442726135253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591636657714844 × 2 - 1) × π
    0.183273315429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.57577010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442726135253906 × 2 - 1) × π
    0.114547729492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.359862305447762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57577010} λ = 0.57577010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359862305447762))-π/2
    2×atan(1.43313206649558)-π/2
    2×0.961566961802208-π/2
    1.92313392360442-1.57079632675     		φ = 0.35233760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57577010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.989197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35233760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.187457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77547 KachelY 58029 0.57577010 0.35233760 32.989197 20.187457
    Oben rechts KachelX + 1 77548 KachelY 58029 0.57581804 0.35233760 32.991943 20.187457
    Unten links KachelX 77547 KachelY + 1 58030 0.57577010 0.35229260 32.989197 20.184879
    Unten rechts KachelX + 1 77548 KachelY + 1 58030 0.57581804 0.35229260 32.991943 20.184879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35233760-0.35229260) × R
    4.49999999999617e-05 × 6371000     		dl = 286.694999999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35233760-0.35229260) × R
    4.49999999999617e-05 × 6371000     		dr = 286.694999999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57577010-0.57581804) × cos(0.35233760) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.93856858912204 × 6371000     		do = 286.663005873831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57577010-0.57581804) × cos(0.35229260) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.938584117345315 × 6371000     		du = 286.667748592916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35233760)-sin(0.35229260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93856858912204-0.938584117345315)×R²
    abs(0.57581804-0.57577010)×1.55282232752185e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.55282232752185e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.55282232752185e-05×40589641000000     		ar = 82185.530339667m²