Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77546 / 58114
↖ ↑ ↗
← N 19.968186°
E 32.986450°		 ← 287.06 m → N 19.968186°
E 32.989197°		 →
↑
287.08 m
↓
↑
287.08 m
↓
N 19.965604°
E 32.986450°		 ← 287.07 m →
82 410 m²		 N 19.965604°
E 32.989197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591632843017578 y=0.443378448486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591632843017578 × 217)
    floor (0.591632843017578 × 131072)
    floor (77546.5)     		tx = 77546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443378448486328 × 217)
    floor (0.443378448486328 × 131072)
    floor (58114.5)     		ty = 58114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77546 / 58114 ti = "17/77546/58114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77546/58114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77546 ÷ 217
    77546 ÷ 131072     		x = 0.591629028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58114 ÷ 217
    58114 ÷ 131072     		y = 0.443374633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591629028320312 × 2 - 1) × π
    0.183258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57572216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443374633789062 × 2 - 1) × π
    0.113250732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.355787668980057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57572216} λ = 0.57572216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355787668980057))-π/2
    2×atan(1.42730445507623)-π/2
    2×0.959653458566116-π/2
    1.91930691713223-1.57079632675     		φ = 0.34851059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57572216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.986450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34851059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.968186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77546 KachelY 58114 0.57572216 0.34851059 32.986450 19.968186
    Oben rechts KachelX + 1 77547 KachelY 58114 0.57577010 0.34851059 32.989197 19.968186
    Unten links KachelX 77546 KachelY + 1 58115 0.57572216 0.34846553 32.986450 19.965604
    Unten rechts KachelX + 1 77547 KachelY + 1 58115 0.57577010 0.34846553 32.989197 19.965604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34851059-0.34846553) × R
    4.50599999999857e-05 × 6371000     		dl = 287.077259999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34851059-0.34846553) × R
    4.50599999999857e-05 × 6371000     		dr = 287.077259999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57572216-0.57577010) × cos(0.34851059) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939882386157109 × 6371000     		do = 287.064273304813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57572216-0.57577010) × cos(0.34846553) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939897773117077 × 6371000     		du = 287.068972878447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34851059)-sin(0.34846553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939882386157109-0.939897773117077)×R²
    abs(0.57577010-0.57572216)×1.53869599671674e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53869599671674e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53869599671674e-05×40589641000000     		ar = 82410.2996085221m²