Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77546 / 57400
↖ ↑ ↗
← N 21.800308°
E 32.986450°		 ← 283.58 m → N 21.800308°
E 32.989197°		 →
↑
283.57 m
↓
↑
283.57 m
↓
N 21.797758°
E 32.986450°		 ← 283.59 m →
80 417 m²		 N 21.797758°
E 32.989197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591632843017578 y=0.437931060791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591632843017578 × 217)
    floor (0.591632843017578 × 131072)
    floor (77546.5)     		tx = 77546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437931060791016 × 217)
    floor (0.437931060791016 × 131072)
    floor (57400.5)     		ty = 57400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77546 / 57400 ti = "17/77546/57400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77546/57400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77546 ÷ 217
    77546 ÷ 131072     		x = 0.591629028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57400 ÷ 217
    57400 ÷ 131072     		y = 0.43792724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591629028320312 × 2 - 1) × π
    0.183258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57572216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43792724609375 × 2 - 1) × π
    0.1241455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.390014615308777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57572216} λ = 0.57572216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.390014615308777))-π/2
    2×atan(1.47700238057075)-π/2
    2×0.975641740111523-π/2
    1.95128348022305-1.57079632675     		φ = 0.38048715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57572216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.986450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38048715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.800308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77546 KachelY 57400 0.57572216 0.38048715 32.986450 21.800308
    Oben rechts KachelX + 1 77547 KachelY 57400 0.57577010 0.38048715 32.989197 21.800308
    Unten links KachelX 77546 KachelY + 1 57401 0.57572216 0.38044264 32.986450 21.797758
    Unten rechts KachelX + 1 77547 KachelY + 1 57401 0.57577010 0.38044264 32.989197 21.797758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38048715-0.38044264) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dl = 283.573209999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38048715-0.38044264) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dr = 283.573209999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57572216-0.57577010) × cos(0.38048715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928483831483904 × 6371000     		do = 283.582861308821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57572216-0.57577010) × cos(0.38044264) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928500360368582 × 6371000     		du = 283.587909655655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38048715)-sin(0.38044264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928483831483904-0.928500360368582)×R²
    abs(0.57577010-0.57572216)×1.65288846785128e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65288846785128e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65288846785128e-05×40589641000000     		ar = 80417.2180835493m²