Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77544 / 60168
↖ ↑ ↗
← N 14.583584°
E 32.980957°		 ← 295.59 m → N 14.583584°
E 32.983704°		 →
↑
295.55 m
↓
↑
295.55 m
↓
N 14.580926°
E 32.980957°		 ← 295.59 m →
87 361 m²		 N 14.580926°
E 32.983704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591617584228516 y=0.459049224853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591617584228516 × 217)
    floor (0.591617584228516 × 131072)
    floor (77544.5)     		tx = 77544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459049224853516 × 217)
    floor (0.459049224853516 × 131072)
    floor (60168.5)     		ty = 60168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77544 / 60168 ti = "17/77544/60168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77544/60168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77544 ÷ 217
    77544 ÷ 131072     		x = 0.59161376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60168 ÷ 217
    60168 ÷ 131072     		y = 0.45904541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59161376953125 × 2 - 1) × π
    0.1832275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57562629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45904541015625 × 2 - 1) × π
    0.0819091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.257325277160461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57562629} λ = 0.57562629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.257325277160461))-π/2
    2×atan(1.29346579321942)-π/2
    2×0.912663937409815-π/2
    1.82532787481963-1.57079632675     		φ = 0.25453155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57562629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.980957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25453155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.583584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77544 KachelY 60168 0.57562629 0.25453155 32.980957 14.583584
    Oben rechts KachelX + 1 77545 KachelY 60168 0.57567423 0.25453155 32.983704 14.583584
    Unten links KachelX 77544 KachelY + 1 60169 0.57562629 0.25448516 32.980957 14.580926
    Unten rechts KachelX + 1 77545 KachelY + 1 60169 0.57567423 0.25448516 32.983704 14.580926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25453155-0.25448516) × R
    4.63900000000073e-05 × 6371000     		dl = 295.550690000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25453155-0.25448516) × R
    4.63900000000073e-05 × 6371000     		dr = 295.550690000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57562629-0.57567423) × cos(0.25453155) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.9677813538713 × 6371000     		do = 295.58533616415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57562629-0.57567423) × cos(0.25448516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.967793033464497 × 6371000     		du = 295.588903412545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25453155)-sin(0.25448516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9677813538713-0.967793033464497)×R²
    abs(0.57567423-0.57562629)×1.16795931971447e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16795931971447e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16795931971447e-05×40589641000000     		ar = 87360.977224247m²