Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77543 / 60165
↖ ↑ ↗
← N 14.591557°
E 32.978210°		 ← 295.57 m → N 14.591557°
E 32.980957°		 →
↑
295.55 m
↓
↑
295.55 m
↓
N 14.588899°
E 32.978210°		 ← 295.58 m →
87 358 m²		 N 14.588899°
E 32.980957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591609954833984 y=0.459026336669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591609954833984 × 217)
    floor (0.591609954833984 × 131072)
    floor (77543.5)     		tx = 77543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459026336669922 × 217)
    floor (0.459026336669922 × 131072)
    floor (60165.5)     		ty = 60165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77543 / 60165 ti = "17/77543/60165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77543/60165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77543 ÷ 217
    77543 ÷ 131072     		x = 0.591606140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60165 ÷ 217
    60165 ÷ 131072     		y = 0.459022521972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591606140136719 × 2 - 1) × π
    0.183212280273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.57557835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459022521972656 × 2 - 1) × π
    0.0819549560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.257469087859322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57557835} λ = 0.57557835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.257469087859322))-π/2
    2×atan(1.29365182081515)-π/2
    2×0.912733524806147-π/2
    1.82546704961229-1.57079632675     		φ = 0.25467072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57557835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.978210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25467072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.591557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77543 KachelY 60165 0.57557835 0.25467072 32.978210 14.591557
    Oben rechts KachelX + 1 77544 KachelY 60165 0.57562629 0.25467072 32.980957 14.591557
    Unten links KachelX 77543 KachelY + 1 60166 0.57557835 0.25462433 32.978210 14.588899
    Unten rechts KachelX + 1 77544 KachelY + 1 60166 0.57562629 0.25462433 32.980957 14.588899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25467072-0.25462433) × R
    4.63900000000073e-05 × 6371000     		dl = 295.550690000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25467072-0.25462433) × R
    4.63900000000073e-05 × 6371000     		dr = 295.550690000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57557835-0.57562629) × cos(0.25467072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.96774630259563 × 6371000     		do = 295.57463060234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57557835-0.57562629) × cos(0.25462433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.967757988436841 × 6371000     		du = 295.57819975904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25467072)-sin(0.25462433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96774630259563-0.967757988436841)×R²
    abs(0.57562629-0.57557835)×1.16858412112508e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16858412112508e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16858412112508e-05×40589641000000     		ar = 87357.8134700573m²