Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77543 / 58040
↖ ↑ ↗
← N 20.159098°
E 32.978210°		 ← 286.72 m → N 20.159098°
E 32.980957°		 →
↑
286.69 m
↓
↑
286.69 m
↓
N 20.156520°
E 32.978210°		 ← 286.72 m →
82 200 m²		 N 20.156520°
E 32.980957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591609954833984 y=0.442813873291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591609954833984 × 217)
    floor (0.591609954833984 × 131072)
    floor (77543.5)     		tx = 77543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442813873291016 × 217)
    floor (0.442813873291016 × 131072)
    floor (58040.5)     		ty = 58040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77543 / 58040 ti = "17/77543/58040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77543/58040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77543 ÷ 217
    77543 ÷ 131072     		x = 0.591606140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58040 ÷ 217
    58040 ÷ 131072     		y = 0.44281005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591606140136719 × 2 - 1) × π
    0.183212280273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.57557835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44281005859375 × 2 - 1) × π
    0.1143798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.359334999551941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57557835} λ = 0.57557835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359334999551941))-π/2
    2×atan(1.43237656671468)-π/2
    2×0.96131948292057-π/2
    1.92263896584114-1.57079632675     		φ = 0.35184264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57557835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.978210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35184264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.159098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77543 KachelY 58040 0.57557835 0.35184264 32.978210 20.159098
    Oben rechts KachelX + 1 77544 KachelY 58040 0.57562629 0.35184264 32.980957 20.159098
    Unten links KachelX 77543 KachelY + 1 58041 0.57557835 0.35179764 32.978210 20.156520
    Unten rechts KachelX + 1 77544 KachelY + 1 58041 0.57562629 0.35179764 32.980957 20.156520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35184264-0.35179764) × R
    4.49999999999617e-05 × 6371000     		dl = 286.694999999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35184264-0.35179764) × R
    4.49999999999617e-05 × 6371000     		dr = 286.694999999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57557835-0.57562629) × cos(0.35184264) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93873928125295 × 6371000     		do = 286.715139643562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57557835-0.57562629) × cos(0.35179764) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938754788569225 × 6371000     		du = 286.719875977111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35184264)-sin(0.35179764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93873928125295-0.938754788569225)×R²
    abs(0.57562629-0.57557835)×1.55073162751984e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55073162751984e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55073162751984e-05×40589641000000     		ar = 82200.4759155397m²