Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77543 / 57330
↖ ↑ ↗
← N 21.978707°
E 32.978210°		 ← 283.23 m → N 21.978707°
E 32.980957°		 →
↑
283.19 m
↓
↑
283.19 m
↓
N 21.976161°
E 32.978210°		 ← 283.23 m →
80 208 m²		 N 21.976161°
E 32.980957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591609954833984 y=0.437397003173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591609954833984 × 217)
    floor (0.591609954833984 × 131072)
    floor (77543.5)     		tx = 77543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437397003173828 × 217)
    floor (0.437397003173828 × 131072)
    floor (57330.5)     		ty = 57330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77543 / 57330 ti = "17/77543/57330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77543/57330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77543 ÷ 217
    77543 ÷ 131072     		x = 0.591606140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57330 ÷ 217
    57330 ÷ 131072     		y = 0.437393188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591606140136719 × 2 - 1) × π
    0.183212280273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.57557835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437393188476562 × 2 - 1) × π
    0.125213623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.393370198282181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57557835} λ = 0.57557835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.393370198282181))-π/2
    2×atan(1.48196690939651)-π/2
    2×0.977198569619084-π/2
    1.95439713923817-1.57079632675     		φ = 0.38360081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57557835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.978210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38360081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.978707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77543 KachelY 57330 0.57557835 0.38360081 32.978210 21.978707
    Oben rechts KachelX + 1 77544 KachelY 57330 0.57562629 0.38360081 32.980957 21.978707
    Unten links KachelX 77543 KachelY + 1 57331 0.57557835 0.38355636 32.978210 21.976161
    Unten rechts KachelX + 1 77544 KachelY + 1 57331 0.57562629 0.38355636 32.980957 21.976161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38360081-0.38355636) × R
    4.44500000000292e-05 × 6371000     		dl = 283.190950000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38360081-0.38355636) × R
    4.44500000000292e-05 × 6371000     		dr = 283.190950000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57557835-0.57562629) × cos(0.38360081) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927323003878642 × 6371000     		do = 283.228314678471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57557835-0.57562629) × cos(0.38355636) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927339638908542 × 6371000     		du = 283.233395444788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38360081)-sin(0.38355636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927323003878642-0.927339638908542)×R²
    abs(0.57562629-0.57557835)×1.66350298997919e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66350298997919e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66350298997919e-05×40589641000000     		ar = 80208.4149274754m²