Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77542 / 56978
↖ ↑ ↗
← N 22.872379°
E 32.975464°		 ← 281.35 m → N 22.872379°
E 32.978210°		 →
↑
281.41 m
↓
↑
281.41 m
↓
N 22.869849°
E 32.975464°		 ← 281.36 m →
79 175 m²		 N 22.869849°
E 32.978210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591602325439453 y=0.434711456298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591602325439453 × 217)
    floor (0.591602325439453 × 131072)
    floor (77542.5)     		tx = 77542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434711456298828 × 217)
    floor (0.434711456298828 × 131072)
    floor (56978.5)     		ty = 56978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77542 / 56978 ti = "17/77542/56978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77542/56978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77542 ÷ 217
    77542 ÷ 131072     		x = 0.591598510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56978 ÷ 217
    56978 ÷ 131072     		y = 0.434707641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591598510742188 × 2 - 1) × π
    0.183197021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57553042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434707641601562 × 2 - 1) × π
    0.130584716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.410243986948441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57553042} λ = 0.57553042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.410243986948441))-π/2
    2×atan(1.5071854738399)-π/2
    2×0.984997326726282-π/2
    1.96999465345256-1.57079632675     		φ = 0.39919833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57553042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.975464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39919833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.872379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77542 KachelY 56978 0.57553042 0.39919833 32.975464 22.872379
    Oben rechts KachelX + 1 77543 KachelY 56978 0.57557835 0.39919833 32.978210 22.872379
    Unten links KachelX 77542 KachelY + 1 56979 0.57553042 0.39915416 32.975464 22.869849
    Unten rechts KachelX + 1 77543 KachelY + 1 56979 0.57557835 0.39915416 32.978210 22.869849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39919833-0.39915416) × R
    4.417000000001e-05 × 6371000     		dl = 281.407070000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39919833-0.39915416) × R
    4.417000000001e-05 × 6371000     		dr = 281.407070000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57553042-0.57557835) × cos(0.39919833) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.921372883000601 × 6371000     		do = 281.352293940188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57553042-0.57557835) × cos(0.39915416) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.921390050089905 × 6371000     		du = 281.357536117427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39919833)-sin(0.39915416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921372883000601-0.921390050089905)×R²
    abs(0.57557835-0.57553042)×1.71670893039932e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.71670893039932e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.71670893039932e-05×40589641000000     		ar = 79175.2622812865m²