Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77541 / 60175
↖ ↑ ↗
← N 14.564976°
E 32.972717°		 ← 295.61 m → N 14.564976°
E 32.975464°		 →
↑
295.61 m
↓
↑
295.61 m
↓
N 14.562318°
E 32.972717°		 ← 295.61 m →
87 387 m²		 N 14.562318°
E 32.975464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591594696044922 y=0.459102630615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591594696044922 × 217)
    floor (0.591594696044922 × 131072)
    floor (77541.5)     		tx = 77541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459102630615234 × 217)
    floor (0.459102630615234 × 131072)
    floor (60175.5)     		ty = 60175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77541 / 60175 ti = "17/77541/60175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77541/60175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77541 ÷ 217
    77541 ÷ 131072     		x = 0.591590881347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60175 ÷ 217
    60175 ÷ 131072     		y = 0.459098815917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591590881347656 × 2 - 1) × π
    0.183181762695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.57548248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459098815917969 × 2 - 1) × π
    0.0818023681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.256989718863121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57548248} λ = 0.57548248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.256989718863121))-π/2
    2×atan(1.29303183285375)-π/2
    2×0.912501557021197-π/2
    1.82500311404239-1.57079632675     		φ = 0.25420679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57548248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.972717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25420679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.564976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77541 KachelY 60175 0.57548248 0.25420679 32.972717 14.564976
    Oben rechts KachelX + 1 77542 KachelY 60175 0.57553042 0.25420679 32.975464 14.564976
    Unten links KachelX 77541 KachelY + 1 60176 0.57548248 0.25416039 32.972717 14.562318
    Unten rechts KachelX + 1 77542 KachelY + 1 60176 0.57553042 0.25416039 32.975464 14.562318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25420679-0.25416039) × R
    4.6400000000002e-05 × 6371000     		dl = 295.614400000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25420679-0.25416039) × R
    4.6400000000002e-05 × 6371000     		dr = 295.614400000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57548248-0.57553042) × cos(0.25420679) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.967863074829979 × 6371000     		do = 295.610295848428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57548248-0.57553042) × cos(0.25416039) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.967874742356578 × 6371000     		du = 295.613859411373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25420679)-sin(0.25416039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967863074829979-0.967874742356578)×R²
    abs(0.57553042-0.57548248)×1.16675265995347e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16675265995347e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16675265995347e-05×40589641000000     		ar = 87387.1869770629m²